数论之逆元

在数学和计算机科学中，逆元是一个非常重要的概念，尤其在数论和密码学中应用广泛。简单来说，逆元就像是乘法中的倒数，但它是在特定运算和模数下的“倒数”。

什么是逆元？

在一个给定的模数 \(m\) 下，如果存在一个数 \(x\)，使得数 \(a\) 与 \(x\) 相乘后对 \(m\) 取模的结果为 1，那么 \(x\) 就被称为 \(a\) 的模乘法逆元（Modular Multiplicative Inverse）。

用数学公式表示就是：

如果 \(ax \equiv 1 \pmod{m}\)，
那么 \(x\) 就是 \(a\) 在模 \(m\) 意义下的逆元。

这里：

• \(a\) 和 \(m\) 必须是互质的（即它们的最大公约数是 1），否则 \(a\) 的逆元不存在。
• \(x\) 的值通常在 \(1\) 到 \(m-1\) 的范围内。

---

为什么要用逆元？

在模运算中，加法、减法和乘法都有对应的规则，但除法却没有。当我们需要在模运算中进行除法时，就需要用到逆元。

比如，我们想计算 \((b / a) \pmod{m}\)。
由于模运算不直接支持除法，我们可以将除以 \(a\) 转化为乘以 \(a\) 的逆元 \(x\)。
所以，\((b / a) \pmod{m}\) 就可以转换为 \((b \cdot x) \pmod{m}\)。

---

如何求逆元？

求逆元主要有以下几种方法：

1. 扩展欧几里得算法（Extended Euclidean Algorithm）
   这是最通用也最常用的方法。它基于欧几里得算法（求最大公约数），可以用来解方程 \(ax + by = \text{gcd}(a, b)\)。当 \(a\) 和 \(m\) 互质时，\(\text{gcd}(a, m) = 1\)，方程就变成了 \(ax + my = 1\)。对这个方程取模 \(m\)，我们得到 \(ax \equiv 1 \pmod{m}\)，从而求出 \(x\)。

2. 费马小定理（Fermat's Little Theorem）
   如果模数 \(m\) 是一个质数，我们可以用费马小定理来求逆元。
   费马小定理指出，如果 \(p\) 是质数，且 \(a\) 不是 \(p\) 的倍数，那么 \(a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}\)。
   这个公式可以写成 \(a \cdot a^{p-2} \equiv 1 \pmod{p}\)。
   因此，当 \(m\) 是质数时，\(a\) 的逆元就是 \(a^{m-2} \pmod{m}\)。这种方法通常用快速幂算法来计算。

3. 线性递推
   如果需要求一组连续数字（例如 \(1, 2, \dots, n\)）在模 \(p\) 意义下的逆元，并且 \(p\) 是一个质数，我们可以用线性时间复杂度递推出所有逆元。

---

简单例子

让我们用一个例子来理解逆元。
求 \(3\) 在模 \(7\) 意义下的逆元。

我们设逆元为 \(x\)，根据定义，\(3x \equiv 1 \pmod{7}\)。
我们可以逐一测试 \(x\) 的值（从 \(1\) 到 \(6\)）：

• \(3 \cdot 1 = 3 \not\equiv 1 \pmod{7}\)
• \(3 \cdot 2 = 6 \not\equiv 1 \pmod{7}\)
• \(3 \cdot 3 = 9 \equiv 2 \pmod{7}\)
• \(3 \cdot 4 = 12 \equiv 5 \pmod{7}\)
• \(3 \cdot 5 = 15 \equiv 1 \pmod{7}\)

当 \(x=5\) 时，我们找到了满足条件的数。因此，\(3\) 在模 \(7\) 意义下的逆元是 \(5\)。

有了这个逆元，我们就可以在模 \(7\) 意义下进行“除法”了。比如，计算 \((6/3) \pmod{7}\)，我们可以写成 \((6 \cdot 5) \pmod{7}\)，结果为 \(30 \pmod{7} \equiv 2 \pmod{7}\)。
而直接计算 \(6/3 = 2\)，结果是吻合的。