贝叶斯概率介绍

贝叶斯概率是一种解释和使用概率的方法，核心思想是根据已有的信息来更新对未知事件的信念。它的理论基础是贝叶斯定理（Bayes' Theorem），这一定理描述了如何根据新的证据调整原有的判断。

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一、贝叶斯概率的核心思想

传统的频率派概率解释认为“概率”是大量重复实验中某事件出现的频率。而贝叶斯概率（Bayesian probability）认为，“概率”是我们对一个事件发生的主观相信程度，可以根据新信息进行调整。

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二、贝叶斯定理公式

\[P(A|B) = \frac{P(B|A) \cdot P(A)}{P(B)} \]

含义如下：

• P(A)：先验概率（prior），表示在没有观察到证据B之前，对事件A的原始相信程度。
• P(B|A)：似然（likelihood），表示如果事件A是真的，观测到证据B的可能性。
• P(B)：证据的概率（全概率），表示在所有可能情况下，观测到证据B的总概率。
• P(A|B)：后验概率（posterior），表示在观察到证据B之后，事件A发生的新的相信程度。

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三、通俗例子（经典的疾病检测）

某种病的发病率是1%，一种检测手段的准确率为：

• 真阳性率：检测出病人有病的概率是 99%。
• 假阳性率：检测健康人有病的概率是 5%。
  那么，某人检测阳性，他实际上患病的概率是多少？

设：

• A：事件“这个人真患病”，P(A) = 0.01
• B：事件“检测为阳性”，我们要求的是 P(A|B)

贝叶斯定理告诉我们：

\[P(A|B) = \frac{P(B|A) \cdot P(A)}{P(B)} \]

• P(B|A) = 0.99
• P(B|¬A) = 0.05
• P(¬A) = 0.99
• 所以

\[P(B) = P(B|A)P(A) + P(B|¬A)P(¬A) = 0.99 \cdot 0.01 + 0.05 \cdot 0.99 \]

\[P(B) ≈ 0.0594 \]

\[P(A|B) ≈ \frac{0.99 \cdot 0.01}{0.0594} ≈ 0.1667 \]

即：只有**16.67%**的概率他真的得病。虽然测试是阳性，但由于病本身很罕见，假阳性很多，所以不一定真得病。