费马小定理的证明

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费马小定理的集合证法

费马小定理是一个重要的数论定理，其内容是：若 \(p\) 为质数，则对于任意整数 \(a\) 且 \(p \nmid a\)，有 \(a^{p-1} \equiv 1 \pmod p\)。

下面我们用集合法来证明费马小定理。

证明步骤

1. 定义集合 \(T_1\)：
   设集合 \(T_1 = \{1, 2, 3, \ldots, p-1\}\)。
   这些数的积为 \((p-1)! \pmod p\)。

2. 定义集合 \(T_2\)：
   将集合 \(T_1\) 中的每一个元素都乘以 \(a\)，得到一个新集合：
   \(T_2 = \{a, 2a, 3a, \ldots, (p-1)a\}\)。
   注意，这里的运算都是在模 \(p\) 的意义下进行的。
   集合 \(T_2\) 的乘积为 \(a^{p-1} \times (p-1)! \pmod p\)。

3. 证明 \(T_2\) 中的元素两两不同余：
   我们假设 \(T_2\) 中存在两个相同的元素，即 \(k_1 a \equiv k_2 a \pmod p\)，其中 \(k_1, k_2 \in T_1\) 且 \(k_1 \neq k_2\)。
   此式可以化为 \(a(k_1 - k_2) \equiv 0 \pmod p\)。
   由于 \(a\) 与 \(p\) 互质（因为 \(p\) 是质数且 \(p \nmid a\)），根据同余的性质，我们可以消去 \(a\)，得到 \(k_1 - k_2 \equiv 0 \pmod p\)，即 \(k_1 - k_2\) 是 \(p\) 的倍数。
   然而，\(k_1, k_2 \in \{1, 2, \ldots, p-1\}\)，所以 \(1 \le k_1, k_2 \le p-1\)。
   这意味着 \(-(p-2) \le k_1 - k_2 \le p-2\)。
   在这个范围内，唯一能被 \(p\) 整除的数是 \(0\)。因此，\(k_1 - k_2 = 0\)，即 \(k_1 = k_2\)。
   这与我们假设的 \(k_1 \neq k_2\) 矛盾。
   所以，集合 \(T_2\) 中的元素在模 \(p\) 意义下是两两不同余的。

4. 证明集合 \(T_1\) 和 \(T_2\) 相等：
   集合 \(T_1\) 和 \(T_2\) 都包含 \(p-1\) 个元素。
   我们已经证明了 \(T_2\) 中的 \(p-1\) 个元素在模 \(p\) 意义下两两不同余。
   同时，由于 \(p \nmid a \cdot k\) 对于任何 \(k \in T_1\)，所以 \(a \cdot k \not\equiv 0 \pmod p\)。这意味着 \(T_2\) 中的所有元素都在集合 \(\{1, 2, \ldots, p-1\}\) 中。
   因此，在模 \(p\) 意义下，集合 \(T_1\) 和 \(T_2\) 包含相同的元素，只是顺序可能不同，即 \(T_1 = T_2 \pmod p\)。

5. 推导费马小定理：
   既然 \(T_1\) 和 \(T_2\) 在模 \(p\) 意义下是相等的，那么它们的元素的乘积也应该同余：
   \(\prod T_1 \equiv \prod T_2 \pmod p\)
   \((p-1)! \equiv a^{p-1} \times (p-1)! \pmod p\)
   由于 \(p\) 是质数，且 \((p-1)!\) 不含 \(p\) 的因子，所以 \((p-1)!\) 与 \(p\) 互质。
   因此，我们可以将同余式两边同时除以 \((p-1)!\)：
   \(1 \equiv a^{p-1} \pmod p\)

至此，费马小定理得证。

a 和 p 的互质

当 \(p\) 是质数且 \(p \nmid a\) 时，\(a\) 和 \(p\) 必然是互质的。

解释如下：

• 互质的定义： 两个整数 \(a\) 和 \(b\) 互质（或称作互素），当且仅当它们的最大公约数是 1，即 \(\gcd(a, b) = 1\)。

• 质数的性质： 质数 \(p\) 的正因子只有两个：1 和 \(p\) 本身。

• 结合 \(p \nmid a\)：
  当 \(p \nmid a\) 时，这意味着 \(p\) 不是 \(a\) 的因子。
  因此，\(a\) 和 \(p\) 之间除了 1 之外，没有其他公因子。
  如果它们有共同的因子 \(d > 1\)，那么由于 \(p\) 是质数，这个共同因子 \(d\) 必然是 \(p\)。
  但如果 \(d=p\) 且 \(p\) 是 \(a\) 的因子，那就意味着 \(p \mid a\)，这与我们给定的条件 \(p \nmid a\) 相矛盾。
  所以，唯一的可能性就是 \(a\) 和 \(p\) 除了 1 之外没有其他公因子，即 \(\gcd(a, p) = 1\)。

总结：
对于一个质数 \(p\) 和任意整数 \(a\)：

• 如果 \(p \mid a\)，那么 \(a\) 是 \(p\) 的倍数，此时 \(\gcd(a, p) = p\)。
• 如果 \(p \nmid a\)，那么 \(a\) 不是 \(p\) 的倍数，此时 \(\gcd(a, p) = 1\)，即 \(a\) 和 \(p\) 互质。

在费马小定理的条件下，由于要求 \(p \nmid a\)，这就保证了 \(a\) 和 \(p\) 互质，这也是证明中能够消去 \(a\) 的关键前提。

欧拉定理与费马小定理

这个集合证法也可以扩展用于证明欧拉定理。欧拉定理是费马小定理的推广，它指出：若整数 \(a\) 与正整数 \(n\) 互质，则 \(a^{\phi(n)} \equiv 1 \pmod n\)，其中 \(\phi(n)\) 是欧拉函数，表示小于等于 \(n\) 且与 \(n\) 互质的正整数的个数。

当 \(n\) 是质数 \(p\) 时，与 \(p\) 互质且小于等于 \(p\) 的正整数恰好是 \(1, 2, \ldots, p-1\)，所以 \(\phi(p) = p-1\)。将 \(\phi(p) = p-1\) 代入欧拉定理，即可得到费马小定理：\(a^{p-1} \equiv 1 \pmod p\)。