Lucas定理

37. Lucas定理

1. Definition

​ Let $n=sp+q,m=tp+r.(0\le ,r\le p-1)$

Then :$C_n^m\equiv C_s^t{C}_q^r(modp)$

2. deduction

百度百科

3.Example

Link

Solution:

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define maxn 100005
#define ll long long
ll nn; 
ll qpow(ll a,ll b,ll p)
{
    if(b==1) return a;
    ll s=1;
    while(b!=0)
    {
        if(b&1) 
        s=s*a%p;
        a=(a*a)%p;
        b>>=1;
    }
    return s%p;
}
ll pow(ll y,int z,int p){
    y%=p;ll ans=1;
    for(int i=z;i;i>>=1,y=y*y%p)if(i&1)ans=ans*y%p;
    return ans;
}
ll C(ll n,ll m,ll p)
{
    if(n<m) return 0;
    if(m>(n-m)) m=n-m;
    ll a=1;ll b=1;
    for(ll i=1;i<=m;i++)
    {
        a=(a*(i))%p;
        b=(b*(n-i+1))%p;
    }
    return (b*pow(a,p-2,p))%p;
}
ll C1(ll n,ll m,ll p){
	if(n<m) return 0;
	if(m>n-m) m=n-m;
	ll a=1,b=1;
	for(int i=0;i<m;i++){
		a=(a*(n-i))%p;
		b=(b*(i+1))%p;
	}
	return a*pow(b,p-2,p)%p;
}
ll lucas(ll n,ll m,ll p)
{
    if(m==0) return 1;
    return lucas(n/p,m/p,p)*C(n%p,m%p,p)%p;
}

int main()
{
    cin>>nn;
    //cout<<qpow(2,10,maxn);
    for(int i=1;i<=nn;i++)
    {
        int x,y,p;
        cin>>x>>y>>p;
        cout<<lucas(x+y,x,p)%p<<endl;
    }
}