2022ICPC杭州站 A （裴蜀 + 扩欧）

题目链接：A

题意：

给定一个序列 \(a\)，让序列加上一个等差序列，求出总和 %$ m$ 的最小值以及等差序列的 \(s\) 和公差 \(d\)。

思路：

定义 \(a\) 序列总和为sum。
则求解的答案为 \((sum+n∗s+n∗(n+1)2∗d)\) %m 的最小值。
根据裴蜀定理得到原式等于 \(sum+x∗gcd(n,n∗(n+1)/2) + y * m\)
再裴蜀，\(sum + k∗g + y * m\)。
求该值的最小，这个值大于 0，所以最小应该是等于 \(m\)，得到 \(k=⌈sum−mg⌉\)。

AC代码：

// -----------------
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define IOS ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(nullptr);cout.tie(0);
#define endl '\n'
#define rep(i,x,y) for(int i = (x); i <= (y); i ++)
#define dec(i,y,x) for(int i = (y); i >= (x); i --)
#define int long long 
using namespace std;

const int N = 1e5 + 7;
int a[N];
int n,m;

int exgcd(int a, int b, int &x, int &y) 
{
    if (!b)
    {
        x = 1; y = 0;
        return a;
    }
    int d = exgcd(b, a % b, y, x);
    y -= (a / b) * x;
    return d;
}

void solve()
{
    cin >> n >> m;
    int sum = 0;
    rep(i,1,n) cin >> a[i],sum += a[i];
    sum %= m;
    int x,y,s,d;
    int g = exgcd(exgcd(n, (n+1)*n/2, s, d), m, x, y);  // 两次扩欧
    int k = (m - sum + g - 1) / g;  // 求 k
    cout << k * g + sum - m << endl;
    x = x * k % m;  // 乘当前倍数则为 x 的实际值
    s = s * x % m;  // 再后推需乘当前系数更新实际值
    d = d * x % m;
    cout << (s + m) % m << " " << (d + m) % m << endl;  // 保证答案非负
}

signed main()
{
    IOS 
    int T = 1;
    //cin >> T;
    while(T --) { solve(); }
    return 0;
}