问题 K: 运动会

题目

题目描述

在一次运会上，有一个比赛项目，共有N个人参加比赛，要将这N个人分组，每组人数不少于K个，问有多少种分组方式？
比如有16个运动员，每组人数不少于5个，共有6种分组方式：
(1) 分一组，为16人；
(2) 分二组，分别为11人、5人；
(3) 分二组，分别为10人、6人；
(4) 分二组，分别为9人、7人；
(5) 分二组，分别为8人、8人；
(6) 分三组，分别为6人、5人、5人。
注意：6+5+5，5+6+5，5+5+6为同一种，只算一种分组方式；

输入

输入共一行为两个整数N, K。表示有N个运动员分组，每组不少于K个人(1 ≤ K ≤ N ≤ 500)。

输出

输出共一行为一个整数，表示分组数。

16 5

6

解析

这个题就是枚举分组，从一个分组到n/m个分组；然后就是每个分组先分上m个，然后就剩下z=n-i*m个球，分到i组里

然后就转化成一个子问题，就是z个球分到 i 个桶里，球相同桶也相同，这是一个dp的问题。传送门

dp[i][j]:将i个球放进j个箱子中，共有多少种不同的放法

dp初始化：
dp[0][j] = 1; 将0个球放进j个箱子中，不管怎么放都只有一种放法（允许空箱）
dp[1][j] = 1; 将1个球放进j个箱子中，不管怎么放都只有一种放法
dp[i][1] = 1; 将i个球放进1个箱子中，不管怎么放都只有一种放法

dp:
当n < m时 dp[i][j] = dp[i][j-1]; 假设将2个球放进3个箱子中和将2个球放进4个箱子中，他们的放法一致
当n >= m时 dp[i][j] = dp[i][j-1] + dp[i-j][j];
其中dp[i][j-1]代表有空箱的情况存在，他的状态可以由空一个箱子转移
dp[i-j][j]代表不空箱的情况，那么至少每个箱子中都要放一个球，那么还剩下i-j个球，然后就变成了i-j个球放进j个箱子中的子问题

 

代码

void init()
{
    for(int i = 0; i < maxn; i++){
        for(int j = 0; j < maxn; j++){
            if(i == 0 || i == 1){
                dp[i][j] = 1;
            }
            if(j == 1){
                dp[i][j] = 1;
            }
        }
    }
}
void solve(){
    init();
    for(int i = 2; i < maxn; i++){
        for(int j = 1; j < maxn; j++){
            if(i < j){
                dp[i][j] = dp[i][j-1];
            }
            else{
                dp[i][j] = dp[i][j-1] + dp[i-j][j];
            }
        }
         
    }
}
int main(){
    solve(); 
    cin>>n>>m;
    int p=n/m;
    __int128 ans=1;
    for(int i=2;i<=p;i++){
        int z=n-i*m;
        if(z==0){
            ans++;
            continue;
        }
        ans+=dp[z][i]; 
    }
    out(ans);
}