n个数中所有任意两个数的lcm的gcd（数论）

在遥远的公元前65536世纪，β星座的焃碁星人发现了地球，他们对于该星球上碳基生物的大脑构造感到非常的好奇， 在植入了夸克级别的神经元控制器后， 他们夺取了所有生物大脑内惊人的算力，进而控制了所有的生物。
几亿年以后， 人类凭借着自己贫瘠的算力， 造出了庞大而惊人的超大规模集成电路，他们训练的AlphaPenguin 系统经过了几亿亿的和棋训练， 已经达到了与焃碁星人相同的智力水准。
AlphaPenguin在企图破译焃碁星人的最高权限密码，夺回所有生物的算力控制权时， 发现焃碁星人采用了以下的动态加密方式：

比起焃碁星人，AlphaPenguin由于没有足够的算力而对此感到无能为力。因此它采用了分布式计算的方法，将一小部分任务交给了你做。
具体地，你现在得到了n个数， 你需要求出这n个数中所有任意两个数的最小公倍数的最大公因数， 并把答案返回给AlphaPenguin。

输入

第一行一个整数n，表示你得到的数的个数。
第二行n个整数，a1,a2,...,an表示每个数的大小。

输出

一行，一个整数，表示你计算出的结果。

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【样例1】
4
10 24 40 80
【样例2】
10
540 648 810 648 720 540 594 864 972 648

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【样例1】
40
【样例2】
54

提示

样例解释
在第一个样例中，lcm(10,24)=120,lcm(10,40)=40,lcm(10,80)=80,lcm(24,40)=120,lcm(24,80)=240,lcm(40,80)=80，gcd(120,40,80,120,240,80)=40,因此答案即为40。

 

 

这个题一开始没有想出来,看看这位巨巨的博客把：传送门

 

这个题的题意很简单，就是求n个数的任意两个数的最小公倍数的最大公因数,就是这样。

假设有两个数a,b。

a=p1^a1*p2^a2---------*pn^an,   

b=p1^b2*p2^b2---------*pn^bn.

就是这样。

那么

gcd(a,b)=p1^min(a1,b1)*p2^min(a2,b2)-------pn^min(an,bn)

lcm(a,b)=p1^max(a1,b1)*p2^max(a2,b2)-------pn^max(an,bn)

在这里先将求完lcm，再求gcd的结果记为x
看样例{
4
10 24 40 80
10 == 2 ^ 1 +3 ^ 0+5 ^ 1
24 == 2 ^ 3 +3 ^ 1+5 ^ 0
40 == 2 ^ 3 +3 ^ 0+5 ^ 1
80 == 2 ^ 4 +3 ^ 0+5 ^ 1

①对于2的次方数中，对答案x的贡献一定是次小的那个次方数(2^3)
②对于3的次方数中，对答案x不会产生贡献(因为只有一个数有三的次幂)
③对于5的次方数中，对答案x的贡献是因子中有5且次方数最小的那个(5^1)
答案x == ①2 ^ 3 * ③5 ^ 1 == 40
所以我们可以看到，将这n个数唯一分解之后，有这个数的幂次的数量为 >= n - 1才可以
数量 == n的时候，贡献是次小的幂次
数量 == n - 1的时候，贡献是最小的那个幂次
这个时候对每一个质因子的次方数维护在对应的优先队列(小根堆)里面就好啦

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include<queue>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=3e5+100;
int tot=0;
int biaoji[maxn];
int a[maxn];
int prime[maxn];
int b[maxn];
int cnt[maxn]; 
vector<int>v[maxn];
int p=0; 
ll qpow(ll a,ll b){
    ll ans=1;
    while(b){
        if(b&1){
            ans=(ans*a);
        }
        a=(a*a);
        b/=2;
    }
    return ans;
}
void inint(){
    for(int i=2;i<maxn;i++){
        if(!biaoji[i]) prime[++tot]=i;
        for(int j=1;j<=tot&&i*prime[j]<maxn;j++){
            biaoji[i*prime[j]]=1;
            if(i%prime[j]==0){
                break;
            }
        }
    }
}
void get(int x){
    p=0;
    for(int i=1;i<=tot&&prime[i]*prime[i]<=x;i++){
        if(x%prime[i]==0){
            b[++p]=prime[i];
            cnt[p]=0;
            while(x%prime[i]==0){
                x/=prime[i];
                cnt[p]++;
            }
        }
    }
    if(x>1){
        b[++p]=x;
        cnt[p]=1;
    }
}
priority_queue <int, vector<int>, greater<int> > q[maxn];
int main(){
    inint();
    int n;
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        cin>>a[i];
        get(a[i]);
        for(int j=1;j<=p;j++){
            q[b[j]].push(cnt[j]);
        }
    }
    ll ans=1ll;
    for(int i=0;i<maxn;i++){
        if(q[i].size()==n-1){
            ans*=qpow(i,q[i].top());
        }
        else if(q[i].size()==n){
            q[i].pop();
            ans*=qpow(i,q[i].top());
        }
    }
    cout<<ans<<endl;
    return 0;
}