[算法]高斯消元

前言

今天被推到洛谷的高斯消元模板。
打了一下，并补一篇博客

复杂度

其实是个很暴力的算法
\(\Theta(n^3)\)

算法讲解

参照小学数学知识，我们知道有两种消元的方法：加减消元，带入消元
貌似计算机实现带入消元貌似有点复杂
所以我们选择加减消元，并且用矩阵存储式子
栗子:
\(\left\{ \begin{matrix} \ \ x + 2y + 3z = 0\\ 4x + 5y + 6z = 0\\ 7x + 8y + 9z = 0 \end{matrix} \right.\)
我们将它转换成
\(\left\{ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 & | & 0\\ 4 & 5 & 6 & | & 0\\ 7 & 8 & 9 & | & 0 \end{matrix} \right\}\)
即第n个式子的第n+1项为该式子的常数项
但是选择哪个式子来消其他式子的元呢？
为了使误差最小，我们选择要消去的项系数最大的式子。
证明：想一下，我们显然希望剩下的式子系数更大，于是就要选择“要消去的项系数最大的式子”
假设我们要消第i项，我们珂以把该式换到第i行(方便操作)
然后消去其他项，得到结果
最后从最后一个式子开始，一个一个往前带入，解除其他变量的值
技巧：在处理时，把要消的那个式子全部除以自己那项

代码

#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#define ll long long 
#define ld long double

ll read(){
	ll x = 0; int zf = 1; char ch = ' ';
	while (ch != '-' && (ch < '0' || ch > '9')) ch = getchar();
	if (ch == '-') zf = -1, ch = getchar();
	while (ch >= '0' && ch <= '9') x = x * 10 + ch - '0', ch = getchar(); return x * zf;
}

ld mat[105][106];
ld res[105];

bool guass(int n){
	int _max;
	for (int i = 0; i < n; ++i){
		_max = i;
		for (int j = i + 1; j < n; ++j)
			if (mat[_max][i] < mat[j][i]) _max = j;
		std::swap(mat[_max], mat[i]);
		ld tmp = mat[i][i];
		if (fabs(tmp) < 1e-8)
			return 0;
		for (int j = i; j <= n; ++j)
			mat[i][j] /= tmp;
		for (int j = i + 1; j < n; ++j){
			tmp = mat[j][i];
			for (int k = i; k <= n; ++k)
				mat[j][k] -= mat[i][k] * tmp;
		}
	}
	res[n - 1] = mat[n - 1][n];
	for (int i = n - 2; i >= 0; --i){
		res[i] = mat[i][n];
		for (int j = i + 1; j < n; ++j)
			res[i] -= res[j] * mat[i][j];
	}
	return 1;
}

int main(){
	int n = read();
	for (int i = 0; i < n; ++i)
		for (int j = 0; j <= n; ++j)
			mat[i][j] = read();
	if (guass(n)){
		for (int i = 0; i < n; ++i)
			printf("%.2Lf\n", res[i]);
	}
	else
		printf("No Solution");
	return 0;
}