力扣 - 剑指 Offer 42. 连续子数组的最大和

题目

剑指 Offer 42. 连续子数组的最大和

思路1（分析数组的规律）

• 我们可以从头到尾逐个累加，若之前的累加和小于0，那就从丢弃之前的累加，从当前开始重新累加，同时在遍历过程中比较记录下最大值
  • curSum记为当前最大值，为 0，以 [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4] 为例：
    1. 首先加上 -2，此时 curSum 为 -2
    2. 由于 -2 小于 0，所以丢弃，然后再加上 1，此时 curSum 为 1
    3. 再加上 -3，此时 curSum 为 -2
    4. 由于 -2 小于 0，所以再次丢掉，然后加上 4，此时 curSum 为4
    5. 然后加上 -1，此时 curSum 为 3
    6. 再加上 2，此时 curSum 为 5
    7. 再加上 1，此时 curSum 为 6
    8. 再加上 -5，此时 curSum 为 1
    9. 最后再加上最后一个 4，此时 curSum 为 5
    10. 在这每次遍历中，我们使用一个变量 res 存储最大值，可以找到最大值为 6

代码

class Solution {
    public int maxSubArray(int[] nums) {

        int length = nums.length;
        // 最大总和值
        int res = Integer.MIN_VALUE;
        // 当前总和
        int curSum = 0;

        for (int i = 0; i < length; i++) {
            if (curSum < 0) {
                // 如果 i 之前总和值小于0，那就从 i 开始重新计算
                curSum = nums[i];
            } else {
                // 否则加上当前的值
                curSum += nums[i];
            }

            // 寻找最大值
            if (curSum > res) {
                res = curSum;
            }
        }

        return res;
    }
}

复杂度分析

• 时间复杂度：\(O(N)\)
• 空间复杂度：\(O(1)\)

思路2（动态规划）

• 和思路一差不多动态规划就是利用历史记录，避免重复计算。所以也是从头到尾逐个累加，若之前的累加和小于0，那就从丢弃之前的累加，从当前开始重新累加，我们可以定义一个 dp 数组，dp[i] 代表的意义就是以 i 结尾的子数组的最大值。因此我们可以得出状态转移方程：

  \[dp[i] = \begin{cases} dp[i-1]+nums[i], & \text{if } dp[i-1]<0 \\ nums[i], & \text{if } dp[i-1]\geq0 \end{cases} \]

• 既然我们可以得到以 i 结尾子数组的最大值，那么只需要从这些最大值中找到最大的一个就是结果了～

代码

class Solution {
    public int maxSubArray(int[] nums) {
        int length = nums.length;
        int[] dp = new int[length];
        dp[0] = nums[0];
        int res = dp[0];

        for (int i = 1; i < length; i++) {
            dp[i] = dp[i-1] > 0 ? dp[i-1]+nums[i] : nums[i];
            res = Math.max(res, dp[i]);
        }

        return res;
    }
}

可以进一步优化：

class Solution {
    public int maxSubArray(int[] nums) {
        int length = nums.length;
        // 记录子数组中的最大值
        int res = Integer.MIN_VALUE;
        // 记录前一段子数组之和
        int preSum = 0;

        for (int num : nums) {
            // 意思也是判断前一个字数组之和是否小于0
            preSum = Math.max(num, preSum + num);
            // 然后记录最大值
            res = Math.max(res, preSum);
        }

        return res;
    }
}

复杂度分析

• 时间复杂度：\(O(N)\)
• 空间复杂度：\(O(1)\)