力扣 - 70. 爬楼梯
题目
思路1(数学公式)
- 利用斐波那契数列的公式即可
代码
class Solution {
public int climbStairs(int n) {
double sqrt_5 = Math.sqrt(5);
double fib_n = Math.pow((1+sqrt_5) / 2, n+1) - Math.pow((1-sqrt_5) / 2, n+1);
return (int)(fib_n / sqrt_5);
}
}
复杂度分析
- 时间复杂度:\(O(logN)\),
pow
方法将会用去 O(logN) 的时间 - 空间复杂度:\(O(1)\)
思路2(带备忘录的递归)
-
如果直接暴力递归的话,通过不了
-
到达第n层的方法数是第
n-1
层的路径加上n-2
层路(自顶向下) -
因此我们构建一个树,但是会发现这个树中有很多地方都重复了,明明已经计算过了一遍却还要再计算一遍,所以我们可以用一个备忘录把计算过的存储道备忘录中,再次遇到时,返回这个数即可
代码
class Solution {
public int climbStairs(int n) {
double sqrt_5 = Math.sqrt(5);
double fib_n = Math.pow((1+sqrt_5) / 2, n+1) - Math.pow((1-sqrt_5) / 2, n+1);
return (int)(fib_n / sqrt_5);
}
}
复杂度分析
- 时间复杂度:\(O(N)\),其中 N 为数组长度
- 空间复杂度:\(O(N)\),其中 N 为数组长度
思路3(动态规划)
-
使用动态规划,自底向上的思想
-
刚开始用的是一维数组,即DP表,可以得到状态转移方程
F(N) = F(N-1) + F(N-2)
。 -
把 F(n) 想做一个状态 n,这个状态 n 是由状态 n - 1 和状态 n - 2 相加转移而来,这就叫状态转移
-
根据斐波那契数列的状态转移方程,我们可以知道,当前的状态只和 n-1 和 n-2 有关,因此我们仅仅需要存储前两个变量,那么当前的结果就出来了,所以,空间复杂度可以优化道\(O(1)\)
代码
/* 用一维数组的DP
class Solution {
public int climbStairs(int n) {
int[] dp = new int[50];
dp[1] = 1;
dp[2] = 2;
for (int i = 3; i <= n; i++) {
dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2];
}
return dp[n];
}
}
*/
class Solution {
public int climbStairs(int n) {
int p = 0;
int q = 0;
int r = 1;
for (int i = 0; i < n; i++) {
p = q;
q = r;
r = p + q;
}
return r;
}
}
复杂度分析
- 时间复杂度:\(O(N)\),其中 N 为数组长度
- 空间复杂度:\(O(1)\)
我走得很慢,但我从不后退!