【动态规划总结】 【tag4】字符串dp

本专题【动态规划总结】将主要分为4个部分，主要参考leetcode用户（fun4leetcode）对该类问题的总结，并添加自己的个人理解所作。

问题抽象

问题描述

该类问题主要是在解决在String上的动态规划问题。

通用方法

 模板分别代表了在单个字符串的dp和多个字符串dp的不同形式，大部分算法的复杂度在o(n^2)

// i - indexing string s1
// j - indexing string s2
for (int i = 1; i <= n; ++i) {
   for (int j = 1; j <= m; ++j) {
       if (s1[i-1] == s2[j-1]) {
           dp[i][j] = /*code*/;
       } else {
           dp[i][j] = /*code*/;
       }
   }
}

for (int l = 1; l < n; ++l) {
   for (int i = 0; i < n-l; ++i) {
       int j = i + l;
       if (s[i] == s[j]) {
           dp[i][j] = /*code*/;
       } else {
           dp[i][j] = /*code*/;
       }
   }
}

示例题目

516. Longest Palindromic Subsequence

    public int longestPalindromeSubseq(String s) {
        int n = s.length();
        int[][] dp = new int[n][n];
        for (int i = 0;i < dp.length;i++){
            dp[i][i] = 1;
        }
        for (int l = 1; l < n;l++){
            for (int i = 0;i < n - l;i++){
                int j = i + l;
                if(s.charAt(i) == s.charAt(j)){
                    dp[i][j] += 2;
                    if (i + 1 <= j - 1){
                        dp[i][j] += dp[i + 1][j - 1];
                    }
                }else{
                    dp[i][j] = Math.max(dp[i + 1][j], dp[i][j - 1]);
                }
            }
        }
        return dp[0][n - 1];

    }

1、字符串i到j的通用遍历方法
2、看到一个评论说 求最长回文子串问题 = 判断字符串和其逆序串的LCS问题。非常有理解。
1143. Longest Common Subsequence
字符串dp最经典的问题，是许多进阶问题的基础。
1092. Shortest Common Supersequence
SCS 最长公共超序列 非常难的一道题 难点一部分在于需要对dp值进行操作得到结果 而不是单纯的得到某些值
题目的主要核心思想在于利用LCS求出的dp矩阵得到关系 并通过特殊的遍历手段得到最终值 值得另开一题分析
72. Edit Distance
非常经典的一道dp题目 延伸出了以下思想：
1、部分题目的dp本质上属于暴力求解 对于该题，在对字符的处理上有三种情况：删除 修改 或者在顶部添加 我们不知道哪种操作会接近于最优操作 因此每一个操作都需要记录

    public int minDistance(String word1, String word2) {
        int m = word1.length();
        int n = word2.length();
        if (m == 0 || n == 0) return Math.max(m,n);
        int[][] dp = new int[m + 1][n + 1];
        dp[1][0] = 1; dp[0][1] = 1;
        for (int i = 1; i <= m;i++){
            dp[i][0] = i;
        }
        for (int i = 1; i <= n;i++){
            dp[0][i] = i;
        }
        for (int i = 1; i <= m;i++){
            for (int j = 1; j <= n;j++){
                dp[i][j] = Math.min(dp[i][j - 1] + 1, dp[i - 1][j] + 1);
                int extra = word1.charAt(i - 1) == word2.charAt(j - 1) ? 0 : 1;
                dp[i][j] = Math.min(dp[i][j], dp[i - 1][j - 1] +extra);
            }
        }
        return dp[m][n];
    }

115. Distinct Subsequences
     该题主要的运用了反推思想 难度较大。
116. Minimum ASCII Delete Sum for Two Strings
     该题是lcs题目的变体问题，将dp存储的数量转变为ACSII最大值。
117. Longest Palindromic Substring
     最长回文串 动态规划不是解决该问题的最好方法。

总结

**该类问题是动态规划过程的常规问题，题目的变化很大，类型较多 总结了以下处理原则：
1、考虑最后一个字母 处理时关注于最后一个字母与之前dp的关系
2、考虑 m * n的全部遍历
3、LCS SCS 是基本和进阶的两个问题，特别是LCS 许多问题的变体都是由该问题得到。
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