【学习笔记】计算几何

基础知识

向量

概念：有大小和方向的量
基础算法：
（1）加：\((A.x + B.x,A.y + B.y)\)
（2）减：\((A.x - B.x,A.y - B.y)\)
（3）乘常数：\((A.x * k,A.y * k)\)
（4）点积：\(A · B = |A||B|\cos\theta = A.x * B.x + A.y*B.y\)
（5）叉积：\(A \times B = |A||B|\sin\theta = A.x * B.y - A.y*B.x\)

基础算法

（1）旋转：将 \((x,y)\) 逆时针旋转 \(\theta\) 就是 \((x * \cos\theta - y * \sin\theta,x * \sin\theta + y * \cos\theta)\)
（2）把向量 \(A\) 转到与向量 \(B\) 同向：\(B * \dfrac{|A|}{|B|}\)
（3）求多边形面积：\(\dfrac{1}{2}|\sum_{i=1}^{n-1}P_i \times P_{(i+1)\%n}|\)
（4）以 \(A\) 为原点 \(B\) 为单位点求 \(P\) 的新坐标：\((\vec{AB} · \vec{AP},\vec{AB} \times \vec{AP}) * \dfrac{1}{|AB|^2}\)
（5）\(P\) 与直线 \(AB\) 的位置关系：根据 \(\vec{AB} \times \vec{AP}\)
（6）点 \(P\) 在直线 \(AB\) 上的投影：\(A + \dfrac{\vec{AB} * (\vec{AB} · \vec{AP})}{|AB|^2}\)
（7）点与线段的位置关系：判断与线段所在直线的位置关系、点积判断在哪里
（8）\(AB \mathop{//} CD：\vec{AB} \times \vec{CD} = 0\)
（9）直线 \(AB\) 和直线 \(CD\) 求交点：\(A + \vec{AB} * \dfrac{\vec{CD}\times\vec{CA}}{\vec{AB} \times \vec{CD}}\)
（10）线段与直线求交点：线段两端点在直线两侧、直线求交点

凸包

Graham 扫描法

求凸包：
（1）找到所有的点中最左下角的点，并加入栈中
（2）将所有点按极角排序逆时针
（3）每次找到一个点，判断该点是否在最后这条边的右边，若是则弹出栈顶，直到不能弹出就加入栈里
求下凸壳：
按横坐标从小到大排序，然后执行上文（3）
求上凸壳：
按横坐标从大到小排序，然后执行上文（3）

旋转卡壳

本质：固定一个点，所求与另一个点的位置呈单峰函数且峰值关于固定点单调的算法

例题：

题目描述：
求解凸多边形的直径。直径的定义为凸多边形上两点间距离的最大值。
解法：
（1）任意选择一个点为固定点
（2）以固定点在逆时针顺序下的下一个点为第二个点
（3）因为这两点间的距离与第二个点的位置呈单峰函数，且峰值关于固定点单调，所以就按逆时针方向移动第二个点
（4）移动到最大距离处，计算贡献，并按逆时针方向移动固定点，不移动第二个点
（5）重复（3）直到移动结束
例如下图所示：

先随机找到固定点 \(A\)，与对应的第二个点 \(B\)

移动 \(B\) ，使得 \(A\) 与 \(B\) 两点间距离最大

保持 \(B\) 不动，移动 \(A\)
然后再按照上文的方法一直循环执行