P8478 「GLR-R3」清明

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好题要点赞。

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考虑 \(k=1\)。可以发现，令 \(c_i\) 表示 \(i\) 滴向 \(i+1\) 的水量，则有：\(\prod a_i'=\prod(a_i-c_i+c_{i-1})\)。直接硬拆括号，并进行 DP，注意 corner case 即可。

当 \(k>1\) 的时候，考虑拓展这个做法。类似地，定义 \(c_{i,j}\) 表示 \(i\) 滴向 \(j\) 的水量，可以得到 \(prod a_i'=\prod \left(a_i-\sum\limits_{j=i+1}^{i+k}c_{i,j}+\sum\limits_{j={i-k}}^{i-1} c_{j,i}\right)\)。可以发现，如果 \(i\not=j\)，\(c_{i,*}\) 与 \(c_{j,*}\) 是相互独立的，因此考虑枚举 \(c_{i,*}\) 对所有括号的贡献，并状压记录已经被选了数的括号。

可以发现，我们需要解决形如下面的两个问题。这两个问题中用到的变量和题目中的变量没有关系。

设 \(a\) 为长度为 \(n+u\) 的序列。给定 \(m\)，请求出下面两个式子的值。

• \(\sum\limits_{\sum a\le m}\prod\limits_{i\le n}a_i\)。

• \(\sum\limits_{\sum a\le m}a_1\prod\limits_{i\le n}a_i\)。

对于整数拆分问题，我们一般可以用 GF 得到比较优美的形式。

通过求导，可以得知：\(\sum ix^i=\dfrac{x}{(1-x)^2}\)，\(\sum i^2x^i=\dfrac{x+x^2}{(1-x)^3}\)。

两问方法类似，这里只讲第一问。

由于 \(u\) 相对无用，先将形式化作 \(\sum\limits_{\sum\limits_{i\le n} a_i\le m}\dbinom{m+u-1-\sum\limits_{i\le n}a_i}{u-1}\prod\limits_{i\le n} a_i\)。

这个东西就是在求 \([x^m]\left(\dfrac{x}{(1-x)^2}\right)^n(1-x)^{-u}(1-x)^{-1}\)。第一个东西是 \(\prod a_i\) 的贡献，第二个是组合数的贡献，第三个是求前缀和。

最后化简出式子是 \(\dbinom{m+n+u}{2n+u}\)。由于 \(m\) 很大，\(2n+u\) 很小，需要用类似拉格朗日插值的方法求出组合数。

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由此，我们可以求出转移系数，进行 DP。朴素转移是 \(O(n3^k)\) 的，转移是 dp 数组与一个只和 popcount 有关的数组作子集卷积，可以用高维前缀和优化到 \(O(nk^22^k)\)。

接下来考虑 \(k=n-1\)。可以发现，我们此时不再关注具体哪些括号没有选，因为它们本质相同；因此可以只记录没有被选中的括号个数，做到 \(O(n^3)\)。

思考这能否推广到 \(k\) 比较大的时候，尝试用 \(n-k\) 去拟合状态。可以发现，当 \(2k>n\) 时，我们的确只用记录后 \(n-k\) 个括号是否已经被选中。这是因为，前 \(k\) 个括号如果被选中，那么它肯定合法，不会出现距离 \(>k\) 的贡献。

因此，令 \(dp_{i,j,S}\) 表示后 \(i\) 个中，\([i,k]\) 选了 \(j\) 个括号，后 \(n-k\) 个括号被选中的集合为 \(S\) 的方案，优化类似前面，可以做到 \(O(n(n-k)^32^{n-k})\)。

由此，根据 \(k\) 的范围跑对应的 DP 可以通过。

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其实还能做到更优。

考虑用容斥优化 \(k\) 比较大的过程。钦定一个集合 \(S\)，满足 \(S\) 中的集合必须选了一个不在括号里的数，即对于 \(i\)，括号内是 \(f_{t,i}\) 且 \(i-t>k\)。直接跑 \(k=n-1\) 的 DP 可以做到 \(O(n(n-k)^22^{n-k})\)。

听说 \(2k>n\) 还有 poly 时间复杂度做法？不想看了（