贝尔级数小记

贝尔级数

我们定义一个数论函数 \(f\) 的贝尔级数 \(f_p(x)\) 为 \(\sum\limits_{i=0}^{\infty}f(p^i)x^i\)。

但是，这个东西有什么用呢？

例 1 - 狄利克雷除法

我们已知了题目的 \(f(p^i)=p^i(p^i-1)\)，\(g(p^i)=p^i\varphi(p^i)\)，现在我们要求 \(f / g\)，其中 \(/\) 表示狄利克雷除法。

构造贝尔级数。

\[\begin{aligned} f_p(x)&=\sum\limits_{i=0}^{\infty}p^i(p^i-1)x^i\\ &=\sum\limits_{i=0}^{\infty}p^{2i}x^i-\sum\limits_{i=0}^{\infty}p^ix^i\\ &=\dfrac{1}{1-p^2x}-\dfrac{1}{1-px}\\ &=\dfrac{px(p-1)}{(1-p^2x)(1-px)} \end{aligned} \]

\[\begin{aligned} g_p(x)&=\sum\limits_{i=0}^{\infty}p^i\varphi(p^i)x^i\\ &=1+\sum\limits_{i=1}^{\infty}p^{2i-1}(p-1)x^i\\ &=1+\sum\limits_{i=1}^{\infty}p^{2i}x^i-\sum\limits_{i=1}^{\infty}p^{2i-1}x^i\\ &=1+\left(\dfrac{1}{1-p^2x}-1\right)-\left(\dfrac{\dfrac{1}{1-p^2x}-1}{p}\right)\\ &=\dfrac{p-1}{p(1-p^2x)}+\dfrac{1}{p}\\ &=\dfrac{1-px}{1-p^2x}\\ \end{aligned} \]

由于贝尔级数的性质，我们有 \(h_p(x)=\dfrac{f_p(x)}{g_p(x)}\)，即：

\[\begin{aligned} h_p(x)&=\dfrac{\dfrac{px(p-1)}{(1-p^2x)(1-px)}}{\dfrac{1-px}{1-p^2x}}\\ &=\dfrac{px(p-1)}{(1-px)^2} \end{aligned} \]

接下来，我们就可以使用生成函数中最有用的东西——广义二项式定理了。

此时，我们有：

\[\begin{aligned} h_p(x)&=px(p-1)\sum\limits_{i=0}^{\infty}\dbinom{-2}{i}(-px)^i\\ &=px(p-1)\sum\limits_{i=0}^{\infty}(-1)^i(-px)^i\dbinom{i+1}{i}\\ &=px(p-1)\sum\limits_{i=0}^{\infty}p^ix^i(i+1)\\ &=\sum\limits_{i=1}^{\infty}p^ii(p-1)x^i \end{aligned} \]

PS：OI-wiki 的这里貌似说是 \(p^i(p-1)(i-1)\)？但是我懒得看式子哪里出错了，欢迎大家指正错误。

例 2 - 杜教筛

众所周知，我们的杜教筛需要对于 \(f\)，找到两个数论函数 \(g\) 和 \(h\)，使得 \(f*g=h\)。这个东西通常只能瞪眼。

但是，有了贝尔级数后，我们的这个工作就简单了许多。

例如，我们要对上面的 \(g\) 函数求前缀和。

现在已知它的贝尔级数为 \(\dfrac{1-px}{1-p^2x}\)，我们令 \(f_p(x)=(1-px)^{-1}\)，\(h_p(x)=(1-p^2x)^{-1}\)，则我们有 \(f_p(x)\cdot g_p(x)=h_p(x)\)。

为什么要这么设？

实际上，我们这样设的话，\(f(x)\) 和 \(g(x)\) 都会是一个形式比较优美的结果。

假如让 \(f_p(x)=(1-p^2x)\)，\(g_p(x)=1-px\) 的话，\(f(x)\) 和 \(g(x)\) 无法写出一个仅用 \(x\) 表示的函数。

此时，\(f(x)=x\)，\(g(x)=x^2\)，我们就容易写出杜教筛了。

例 3 - ？

这里是三张图片，但是懒得放了。

有人想看的话，可以私信我。

综合运用：P5325 【模板】Min_25 筛 - 洛谷（PN 筛做法）

贝尔级数可以让 PN 筛的做法更加自然。（？）

实际上，上面的两个例题都是 PN 筛的一部分。

回顾 PN 筛的流程：

假设我们要对 \(f\) 求前缀和。那么：

1. 构造一个积性函数 \(g\)，满足：
   • 好求前缀和。（这一步就是上面的例 2）
   • \(g(p)=f(p)\)。
2. 求出 \(h=f/g\)，其中 \(/\) 表示狄利克雷除法。（这一步就是上面的例 1）
3. 可以得出，\(h\) 只在 Powerful Number 处有取值。而 Powerful Number 的个数是 \(O(\sqrt n)\) 的。
4. 同时，我们 \(F(n)\) 等于 \(\sum\limits_{\ \ i=1\\i\text{ is PN}}^nh(i)G(\lfloor\dfrac{n}{i}\rfloor)\)。
5. DFS 出所有 PN，然后暴力计算。

可以发现，我们的贝尔级数对 PN 筛有很大的意义。