arc 题目整理

arc192a

注：一个位置被覆盖当且仅当位置 \(i\) 满足题目中的两个条件。

首先想到贪心。不难发现，形如 ARCRAR... 的字符串在 \(n\) 为 \(4\) 的倍数的时候可以覆盖整个字符串。

接下来沿着 \(n\) 模 \(4\) 的余数继续分讨。如果这个余数是 \(1\) 或 \(3\)，沿用上面的构造，可以做到只有一个位置无法覆盖，也就是说当 \(a\) 全部为 \(0\) 时无解。

最后是 \(n\) 模 \(4\) 余 \(2\) 的情况。这时候我们会剩下两个位置，接下来考虑找这两个位置的性质。

感性理解的话，我们在这两个位置中只能填类似 ARCRARCR 的字符串，而在这种构造时，这个字符串长度只能是 \(2\) 的倍数，即当这两个位置时 \(i,j(i<j)\) 时，我们需要有 \(j-i-1\) 为偶数。直接判断即可。

arc192b

首先暴力 SG 显然不可取，所以先考虑两人的决策。

如果某个人选了位置 \(i\)，且这个位置第一次被选，那么有两种情况：

• 目前的情况先手必胜，则先手会维持这个位置不选。
• 否则，我们可以继续选这个位置，可以证明选完之后同样是先手必败，综合起来就是将 \(a_i\gets a_i-2\)。

第一种情况我们无需考虑，而第二种情况中，我们会一直执行上面的操作，直到 \(a_i<2\)。

也就是说，我们不需要考虑 \(a_i\) 的大小，只需要考虑 \(a_i\) 的奇偶性即可。

这时候不难写出一个 DFS 打表。可以发现打出来的表很有规律，所以我们按照这个规律输出即可。

arc188a

差点不会之前我认为的简单题。

显然，一个子串是合法的当且仅当这个字符串中 A，B，C 的出现次数奇偶性相同。

思路类似 dp of dp。首先考虑判断一个串是否有 \(\ge k\) 个满足要求的子串。可以用前缀和求出。

接下来对于前缀和 DP。由于我们前缀和的大小只有 \(2^3=8\)，所以我们可以直接对于这个东西用类似状压的方法。时间复杂度为 \(O(n^8)\)，不可接受。

接下来考虑压缩状态。由于我们求的是前缀和做差之后的奇偶性相同，所以不难优化至 \(O(n^{2^3\div 2})=O(n^4)\)。

arc181a

题目中的操作显然是没有什么性质的，所以考虑答案是否有性质。

手玩之后可以发现答案 \(\le 3\)，于是简单分讨即可。