[leetcode/lintcode 题解] Google面试题：内积

描述

给定长度为N的A数组，长度为K的B数组

你可以从A数组里取K个数

规则如下：

• 每个Ai只能被取出一次
• i==1ori==N 可以直接取出Ai
• 2≤i≤N−1 若Ai−1 或者 Ai+1 已经取出，则可以取出Ai
• 要取出正好K个数

即每次可以从A数组的最左边或者最右边取走一个数，取走的数从数组中移除

将取出的Ai按取出的顺序 组成C数组

求B与C的内积最大值

B与C内积为∑i=0K−1Bi×Ci

解释1：

A= [1,4,3,2,5]

B=[1,2,3,4]

K=4

取出A0 ,C=[1]

取出A4 C=[1,5]

取出A1 C=[1,5,4]

取出A2 C=[1,5,4,3]

B·C=1*1+2*5+3*4+4*3=35

这只是C的一种可行方案，可能不是最优方案

解释2

A=[1,2,3,4]

不能直接取出A1 因为A0和A2都没有取出

 

1≤K≤N≤2000

1≤Ai,Bi≤100000

 

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样例

[2,3,5,1]

[2,1]

取出A0,A1

 

算法DP

1. DP方程 dpijdpij表示从左边取了i个数，从右边取了j个数的最大内积
2. DP方程转移

即判断上一次从左边取还是从右边取数哪个内积更大

3. DP边界条件 dp00=0dp00=0 两边都没取数 内积为0
4. 答案 ans=max(ans,dpiK−i)ans=max(ans,dpiK−i) 即枚举左边取了多少个数，答案取dp数组最大值

复杂度分析

• 时间复杂度 n是A数组长度 K是B数组长度 左右两边取数均不超过K个 所以状态量O(K2)O(K2) 转移 O(1)O(1) 所以总时间复杂度O(K2)O(K2)
• 空间复杂度 左右两边取数均不超过K个 所以状态量O(K2)O(K2) 所以总空间复杂度O(K2)

public class Solution {

/**

* @param A: the A array

* @param B: the B array

* @return: return the maxium inner product of B and C

*/

public long getMaxInnerProduct(int[] A, int[] B) {

// write your code here

//A数组长度

int n = A.length;

//B数组长度

int K = B.length;

//初始化dp数组

//dp[i][j]表示从左边取了i个数，从右边取了j个数的最大内积

long [][]dp = new long [K + 1][K + 1];

 

//枚举dp[i][j]

for(int i = 0; i <= K; i++) {

for(int j = 0; j <= K; j++) {

 

//从左边和右边取数总数不超过K个

if(i + j > K) {

break;

}

if(i + j > n) {

break;

}

//dp数组边界条件，从左右都不取数的时候，dp[0][0]=0

if(i == 0 && j == 0) {

dp[i][j] = 0;

continue;

}

 

//从左边取的i 更新dp[i][j]

if(i != 0) {

dp[i][j] = Math.max(dp[i][j], dp[i - 1][j] + (long)A[i - 1] * (long)B[i + j - 1]);

}

//从右边取的j，更新dp[i][j]

if(j != 0) {

dp[i][j] = Math.max(dp[i][j], dp[i][j - 1] + (long)A[n - j] * (long)B[i + j - 1]);

}

 

}

}

//枚举从左边取了多少，找最大的内积

long ans = 0;

for(int i = 0; i <= K; i++) {

ans = Math.max(ans, dp[i][K - i]);

}

 

return ans;

}

}

更多题解参考：九章solution