[leetcode/lintcode 题解] 微软面试题：背包问题 V

给出 n 个物品, 以及一个数组, ​nums[i]​ 代表第i个物品的大小, 保证大小均为正数, 正整数 ​target​ 表示背包的大小, 找到能填满背包的方案数。

​每一个物品只能使用一次​

 

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样例

给出候选物品集合 ​[1,2,3,3,7]​ 以及 target ​7​

结果的集合为:

[7]

[1,3,3]

返回 ​2​

算法：DP(动态规划)

题目描述

nums[i]表示第​i​个物品的大小 ；target 表示背包的大小；每个物品只能使用一次；求装满背包的方案数。

算法思路

• 题目说物品只能使用一次和求方案数，可以看出这题的模型是01背包
• 我们定义状态​dp[i][j]​ 来表示前​i​个物品重量有多少种方式组出重量​j​
• 状态转移方程为：

  当不放第​i​个物品时 ： ​dp[i][j] = dp[i - 1][j]​ 

  当放第​i​个物品时：​dp[i][j] += dp[i - 1][j - nums[i - 1]]​ 

代码思路

    1. 当没有物品时直接 return false

    2. 定义一个二维数组​dp[i][j]​来表示前​i​个物品重量有多少种方式组出重量​j​

    3. 两层循环嵌套来实现

    4. 第一层循环枚举​i​表示前​i​个物品的重量

    5. 第二层循环枚举​j​表示重量

    6. 根据算法思路中的状态转移方程来实现

    7. ​dp[n][target]​方案数

    8. return ​dp[n][target]​

复杂度分析

• 空间复杂度：O(N*target)
• 时间复杂度：O(N*target)

优化

• 我们可以利用滚动数组将状态定义成一维数组,​dp[j]​表示组成重量​j​的方案
• 下面是优化的核心部分的伪代码

 

for  i  1 to n

     old = now; 

     now = 1 + now;

     for j 0 to target 

         dp[now][j] = dp[old][j]

         if (j >= nums[i - 1])

             dp[now][j] += dp[old][j - nums[i - 1]];

 

原本是 老值 + 老值 = 新值，如果正着更新，可能会出现 老值 + 新值，所以需要倒着更新。​dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i-1][j - nums[i-1]]​，新值 = 两个老值加起来

 

 for  i  1 to n

     for j target to 0

             if (j >= nums[i - 1])

                     // old + old ==> new 

                     // old1 = dp[j]

                     // old2 = dp[j - nums[i - 1]]

                     dp[j] += dp[j - nums[i - 1]];

优化后复杂度分析

• 空间复杂度：O(target)
• 时间复杂度：O(N*target)

public class Solution {

 

    /**

     * @param nums: an integer array and all positive numbers

     * @param target: An integer

     * @return: An integer

     */

    public int backPackV(int[] nums, int target) {

        // write your code here

        int n = nums.length;

        // 当没有物品时方案数为0

        if (n == 0) {

            return 0;

        }

        // dp[i][j]表示前i个数字有多少种方式拼出数字j

        int[][] dp = new int[n + 2][target + 2];    

        // 初始化dp[i][j]

        for (int i = 0; i <= target; i++) {

            if(i == 0) {

                dp[0][i] = 1;

            }

            else {

                dp[0][i] = 0;

            }

        }

        for (int i = 1; i <= n; i++) {

            // 装入的重量

            for (int j = 0; j <= target; j++) {

                // 不放物品

                dp[i][j] = dp[i - 1][j];

                // 放入物品

 

                if (j >= nums[i - 1]) {     

                    dp[i][j] += dp[i - 1][j - nums[i - 1]];

                }

            }

        }

        return dp[n][target];

    }

}

 

更多题解参考：九章官网solution