年会抽奖【编程题】

                                                                                             

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目录

☁️题目解析

☁️解题思路

☁️示例代码

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☁️题目解析

错排问题举例：

用 A 、 B 、 C…… 表示写着ｎ位友人名字的信封， a 、 b 、 c…… 表示ｎ份相应的写好的信纸。把错装的总数为记作

D(n) 。假设把 ａ错装进Ｂ里了 ，包含着这个错误的一切错装法分两类：

b 装入Ａ里，这时每种错装的其余部分都与 A 、 B 、 a 、 b 无关，应有 D(n － 2) 种错装法。

ｂ装入 A 、 B 之外的一个信封，这时的装信工作实际是把（除 a 之外的） n － 1 份信纸ｂ、ｃ …… 装入（除 B 以外

的） n － 1 个信封 A 、 C…… ，显然这时装错的方法有 D(n － 1) 种。

总之在ａ装入 B 的错误之下，共有错装法 D(n － 2) ＋ D(n － 1) 种。

a 装入 C ，装入 D…… 的 n － 2 种错误之下，同样都有 D(n － 1) ＋ D(n － 2) 种错装法，因此 D(n) ＝ (n － 1)[D(n － 1) ＋ D(n －

2)]

D(n) = (n-1) [D(n-2) + D(n-1)]

特殊地， D(1) = 0, D(2) = 1.

☁️解题思路

错排的递推公式是： D(n) = (n - 1) [D(n - 2) + D(n - 1)] ，也就是第 n 项为 n - 1 倍的前两项和。通过这个递推公式可以

得到在总数为 n 的时候，错排的可能性一共有多少种。那么要求错排的概率，我们还需要另一个数值，就是当总数

为 n 的时候，所有的排列组合一共有多少种，那么根据排列组合，肯定是使用

的公式来求，也就是 n 的阶乘。所以结果很简单，就是用公式求出第 n 项的错排种类，和 n 的阶乘，然后两者一除，

就是概率了。

☁️示例代码

import java.util.*;
public class Main{
public static void main(String[] args){
long d[] = new long[21]; // 错排数据
d[0] = d[1] = 0;
d[2] = 1;
long f[] = new long[21]; // 阶乘
f[0] = f[1] = 1;
f[2] = 2;
// 算N错排数据和阶乘
for(int i = 3; i <= 20; ++i){
d[i] = (i-1) * (d[i-1] + d[i-2]);
f[i] = i * f[i-1];
}
Scanner sc = new Scanner(System.in);
while(sc.hasNext()){
int n = sc.nextInt();
System.out.printf("%.2f%%\n", 100.0*d[n]/f[n]);
}