ACM学习笔记：拓扑排序与关键路径

title : 拓扑排序与关键路径
date : 2021-8-15
tags : ACM,图论

 

拓扑排序

对一个有向无环图G中所有顶点排成一个序列，使得图中任意一对顶点u和v,若边(u,v)属于E(G)，那么u再线性序列中出现在v之前。这样的线性序列称为满足拓扑排序（Topological Order）的序列，简称拓扑序列。简单的说，由某个集合上的一个偏序得到该集合上的一个全序，这个操作称之为拓扑排序。

实现方法

//BFS：寻找入度为0的点，把这个点加入队列，在队列中对邻边进行删边操作，并反复这个操作直到所有点都被遍历。
Topological_sort(G){
    统计图G中每个点的入度(可计算重边，但不可计算自环），记为degree[i]
    初始化queue和result为空的队列，并将所有degree为0的点加入queue
    while (!queue.empty()){
        u = queue.pop() // 队首
        result.push(u)
        for e 是u的出边（若上面计算了重边，这里也要算，与上面一致）
        v是e的指向的点
        degree[v]--
        if (degree[v] == 0) queue.push(v)
    }
    return result
}

//记忆化搜索：在每一个入度为0的点进行删边，然后往下搜索所有入度为0的点，直到遍历完所有节点。
calculate(u){
    if (u 已经搜索过) return table[u]
    ans = -inf
    for (v 是u的出边指向的点)
    ans = max(ans, value[u] + calculate(v))
    标记u已经搜索过
    table[u] = ans
    return ans
}
for (i 是G的所有节点)
result = max(result, calculate(i))
print(result)

 

关键路径

前面我们学到了拓扑排序

那么我们可以开始学关键路径了。

 

AOE网是边表示活动的网，是与AOV网相对应的概念。

而拓扑排序恰恰就是在AOV网上进行的，这是拓扑排序与关键路径最直观的联系。

关键路径(critical path)：路径长度最长的路径。

 

ETV:Earliest Time Of Vertex

LTV:Latest Time Of Vertex

ETE:Earliest Time Of Edge

LTE:Lastest Time Of Edge

知道了ETV和LTV，就能推断出相应的ETE和LET。

 

拓扑排序的过程中，我们可以确定ve的值。从汇点反拓扑排序，就能求出vl的值。

 

关键活动：LTV==ETV的活动

关键活动所连成的路径就是关键路径。

 

求得了ETE与LTE之后只需要判断两者是否相等，如果相等则为关键路径中的一条边。

 

算法流程：

①拓扑排序获得每一个事件的最早发生时间ETV

②根据事件最早发生时间ETV推断事件的最晚发生时间LTV

③计算活动的最早于最晚发生时间

 

时间复杂度O(n+e)

 

参考资料

https://www.luogu.com.cn/blog/juruohyfhaha/post-ti-xie-su-dian