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是的，可以低于 \(O(n^2)\) 复杂度计算出对于每一个 \(k\) 的 \(\sum_i f(i,k) = \sum_i w_i \binom{n-1-i}{k}\)（其中 \(k\) 的范围是 \(0\) 到 \(n-1\)，且 \(k\) 是 \(O(n)\) 量级）。具体来说，可以通过生成函数和快速傅里叶变换（FFT）在 \(O(n \log n)\) 时间内完成计算。以下是详细的算法步骤和复杂度分析。

算法步骤：

1. 预处理：
   给定 \(n\) 和权重 \(w_x\)（\(x\) 的范围是 \(1\) 到 \(n-1\)）。
   令 \(m = n - 2\)（因为 \(y = n - 1 - x\) 的范围是 \(0\) 到 \(n-2\)）。
   计算序列 \(v_y\)（\(y = 0\) 到 \(m\)）：

\[v_y = w_{n-1-y} \]

即：

\[v_0 = w_{n-1} \]

\[v_1 = w_{n-2} \]

\[\cdots \]

\[v_m = w_1 \]

2. 计算阶乘：
   预计算阶乘 \(j!\) 和其倒数 \(\frac{1}{j!}\)（\(j = 0\) 到 \(m\)），复杂度 \(O(n)\)。

3. 构建序列 \(A\) 和 \(C\)：
   序列 \(A\)：长度为 \(m+1\)，索引 \(j = 0\) 到 \(m\)：

\[A_j = v_j \cdot j! \]

序列 \(C\)：长度为 \(m+1\)，索引 \(i = 0\) 到 \(m\)：

\[C_i = \frac{1}{(m - i)!} \]

4. 计算卷积：
   使用快速傅里叶变换（FFT）计算序列 \(A\) 和 \(C\) 的卷积 \(D = A * C\)。
   卷积结果 \(D_l\) 的长度为 \(2m + 1\)，索引 \(l = 0\) 到 \(2m\)。
   FFT 的复杂度为 \(O(n \log n)\)（因为序列长度为 \(O(n)\)）。

5. 计算 \(g_k\) 和 \(s(k)\)：
   对于每个 \(k = 0\) 到 \(m\)：

\[g_k = D_{k + m} \]

\[s(k) = \frac{g_k}{k!} \]

这里 \(s(k)\) 即为所求的 \(\sum_i w_i \binom{n-1-i}{k}\)。
对于 \(k > m\)（即 \(k > n-2\)），有 \(s(k) = 0\)（因为二项式系数 \(\binom{y}{k} = 0\) 当 \(y \leq n-2 < k\)）。

6. 输出：
   输出 \(s(k)\) 对于 \(k = 0\) 到 \(n-1\)（对于 \(k > n-2\)，直接输出 0）。

复杂度分析：
时间复杂度：
计算 \(v_y\)：\(O(n)\)。
预计算阶乘：\(O(n)\)。
构建序列 \(A\) 和 \(C\)：\(O(n)\)。
FFT 卷积：\(O(n \log n)\)（主导步骤）。
计算 \(g_k\) 和 \(s(k)\)：\(O(n)\)（每个 \(k\) 的除法为 \(O(1)\)，假设算术运算为常数时间）。
总体复杂度为 \(O(n \log n)\)，低于 \(O(n^2)\)。
空间复杂度：\(O(n)\)（存储序列和卷积结果）。

正确性说明：
该算法基于生成函数 \(\sum_k s(k) z^k = \sum_y v_y (1 + z)^y\)。
通过变量替换和卷积（使用 FFT 加速），高效地提取系数 \(s(k)\)。
在 \(s(k)\) 的计算中，\(g_k = k! \cdot s(k)\)，因此除以 \(k!\) 后得到正确结果。
小规模测试（如 \(n=3,4\)）验证了算法的正确性。

注意事项：
数值精度：如果权重 \(w_x\) 是整数，则 \(s(k)\) 为整数。算法中涉及分数（如 \(C_i = 1/(m-i)!\)），但最终 \(s(k)\) 为精确值。在实际实现中，可使用浮点数 FFT（注意精度问题）或整数 FFT（如数论变换 NTT）结合缩放技术保证精确性。
生成函数的应用：算法利用了生成函数的性质 \(\sum_y v_y (1 + z)^y\) 和 FFT 实现高效卷积。

此方法在 \(O(n \log n)\) 时间内解决了问题，优于直接的 \(O(n^2)\) 方法。