【HNOI2008】玩具装箱

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【HNOI2008】玩具装箱

题目描述

P教授要去看奥运，但是他舍不下他的玩具，于是他决定把所有的玩具运到北京。他使用自己的压缩器进行压缩，其可以将任意物品变成一堆，再放到一种特殊的一维容器中。
P教授有编号为\(1 \cdots n\)的\(n\)件玩具，第\(i\)件玩具经过压缩后的一维长度为\(C_i\)。
为了方便整理，P教授要求：

• 在一个一维容器中的玩具编号是连续的。
• 同时如果一个一维容器中有多个玩具，那么两件玩具之间要加入一个单位长度的填充物。形式地说，如果将第\(i\)件玩具到第\(j\)个玩具放到一个容器中，那么容器的长度将为\(x=j-i+\sum\limits_{k=i}^{j}C_k\)。

制作容器的费用与容器的长度有关，根据教授研究，如果容器长度为\(x\)，其制作费用为\((x-L)^2\)。其中\(L\)是一个常量。P教授不关心容器的数目，他可以制作出任意长度的容器，甚至超过\(L\)。但他希望所有容器的总费用最小。

输入格式

第一行有两个整数，用一个空格隔开，分别代表\(n\)和\(L\)。
第\(2\)到第\((n+1)\)行，每行一个整数，第\((i+1)\)行的整数代表第\(i\)件玩具的长度\(C_i\)。

输出格式

输出一行一个整数，代表所有容器的总费用最小是多少。

样例输入

5 4
3
4
2
1
4

样例输出

1

说明/提示

对于全部的测试点\(1 \leq n \leq 5 \times 10^4\)，\(1 \leq L \leq 10^7\)，\(1 \leq C_i \leq 10^7\)。

题解

题意：有\(n\)个物品，每个物品都有长度\(C_i\)，要求吧每个物品装进任意个箱子里使花费最小，给定\(L\)。
花费计算公式如下：
\(x=j-i+\sum\limits_{k=i}^{j}C_k\)
\(ans=(x-L)^2\)
看到这里我们首先就想到dp。
转移方程为：
以下\(i\)均表示\(i\)到\(j\)装一个箱子
\(dp[j]=min(dp[i-1]+(x(j,i)-l)^2)\)
\(i \le j\)
\(x(j,i)=s[j]-s[i-1]+j-i\)
\(s[i]\)表示\(\sum\limits_{k=1}^{i}C_k\)
那么这样计算的话时间复杂度就是\(O(n^2)\)的，显然过不了此题。
那么我们考虑到用斜率优化。
我们假设有\(k,i\)，满足\(k \lt i \le j\)，且\(i\)的决策笔\(k\)的决策优，
那么\(k,i\)肯定满足：
\(dp[i-1]+(s[j]+j-l-(s[i-1]+i))^2<dp[k-1]+(s[k]+k-l-(s[k-1]+k))^2\)
我们化简一下上面的式子：
我们令：
\(a=s[j]+j-l\)
\(b[i]=s[i-1]+i\)
那么原式化简后就是：
\(\frac{(dp[i-1]+b[i]^2)-(dp[k-1]+b[k]^2)}{(b[i]-b[k])}<2a\)
因为对于每个确定的\(j\)来说\(a\)是常数，所以就可以用斜率优化来优化我们的dp了。
用凸包来保证dp的时间复杂度，具体实现看代码。
上代码：
注：代码中i表示i到j装一个箱子，k同上。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,L;
int c[50009];
long long dp[50009],s[500009];
int pp[50009],l,r;
long long js(int i,int k){return 1.0*((dp[i-1]+(s[i-1]+i)*(s[i-1]+i))-(dp[k-1]+(s[k-1]+k)*(s[k-1]+k)))/(s[i-1]+i-s[k-1]-k);}
int main(){
	scanf("%d%d",&n,&L);
	for(int j=1;j<=n;j++){
		scanf("%d",&c[j]);
		s[j]=s[j-1]+c[j];
	}
	pp[0]=1;
	for(int j=1;j<=n;j++){
		while(l<r && js(pp[l+1],pp[l])<2*(s[j]+j-L)) l++;
		dp[j]=dp[pp[l]-1]+(s[j]-s[pp[l]-1]+j-pp[l]-L)*(s[j]-s[pp[l]-1]+j-pp[l]-L);
		while(l<r && js(pp[r],pp[r-1])>js(j+1,pp[r])) r--;
		pp[++r]=j+1;
	}
	printf("%lld",dp[n]);
	return 0;
}