LG P10832

题解：P10832 [COTS 2023] 传 Mapa

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Problem
Solution

前置知识

拉格朗日插值

正文

看到查询时还会再给出 \(x_i\) 一遍，考虑构造一个多项式 \(f\) 使得 \(f(x_i)=y_i\)，这样就只需要存储 \(n\) 个数了。

具体来说，对于编码操作，我们用点值表示法来传输 \(f\)，即求出 \(f(1)\) 到 \(f(n)\) 的值，这一部分可以用拉格朗日插值法完成。

对于解码操作，我们也用拉格朗日插值法来求出 \(f(x_i)\) 即可。

由于 \(x_i,y_i\le 10^9\)，模数取 \(10^9+7\) 即可。

代码

编码操作时间复杂度 \(O(n^2(n+\log P))\)，解码操作时间复杂度 \(O(nq(n+\log P))\)（\(P\) 为模数）。

AC link

/****************************************
 * Auther: linhanmo
 * Problem: Luogu P10832
 * Link: https://www.luogu.com.cn/problem/P10832
 * clang-format on
 * RP++
 ****************************************/
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
using ll = long long;
#define For(i, st, ed) for (register int i(st); i <= (ed); ++i)

constexpr ll MOD = 1000000007, N = 110;
inline ll inv(ll x) {  // 逆元
	ll ans = 1, y = 1000000005;
	for (; y; y >>= 1, x = x * x % MOD)
		if (y & 1) ans = ans * x % MOD;
	return ans;
}
int n, q, k;
ll x[N], y[N], f[N];
inline ll Lagrange(ll I) {	// 拉格朗日插值
	ll ans = 0;
	For(i, 1, n) {
		ll a = y[i], b = 1;
		For(j, 1, n) if (j != i) a = a * (I - x[j]) % MOD,
								 b = b * (x[i] - x[j]) % MOD;
		ans = (ans + a * inv(b)) % MOD;
	}
	return (ans + MOD) % MOD;
}
void Ana() {  // 编码操作
	cin >> n;
	For(i, 1, n) cin >> x[i] >> y[i];
	cout << n * 30 << '\n';
	For(i, 1, n) {
		int str = Lagrange(i); /* 拉格朗日插值求 1 ~ n 的点值 */
		for (register int j = 29; j >= 0; --j)
			cout << (str >> j & 1); /* 压缩 */
	}
}
void Borna() {	// 解码操作
	cin >> n >> q >> k >> ws;
	For(i, 1, n) {
		x[i] = i, y[i] = 0;
		For(j, 0, 29) y[i] = (y[i] << 1) + (cin.get() ^ 48);
	}  // 解压
	For(Q, 1, q) {
		ll i;
		cin >> i, cout << Lagrange(i) << '\n';
	}  // 拉格朗日插值求 x 的点值
}
int main() {
	ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(nullptr);
	int T;
	cin >> T, T == 1 ? Ana() : Borna();
}