CF1142D Foreigner题解

CF1142D Foreigner题解

前言：

题目含义真的好难理解呜呜。

遇到的 dp 套 dp 的第三题，所以深入进行了理解。

参考博文：https://www.cnblogs.com/AWhiteWall/p/16479483.html

题意简化：

先定义了不充分。

1. 首先数字 \([1,9]\) 都不充分，注意没有 \(0\)。
2. 当这个数字（设为 \(x\)）大于等于 \(10\) 时，我们将它拆成两部分，一部分是他的最后一位，我们设为 \(c\)，另一部分为去掉末尾后的数字，我们设其为 \(y\)，那么需要满足 \(y\) 是不充分的，并且 \(y\) 在所有不充分数中的大小排名 \(Rank_y\) 满足 \(c < Rank_y \bmod 11\)。

很复杂吧，我也觉得，所以要不不做了吧……

题解思路：

就像游园会那一道题一样，对于 dp 套 dp 我们先思考要是有个神犇，你需要他帮你设计什么自动机？
似乎就是一个较为普通的自动机吧，甚至没有神犇你都可以建立出来。大概就是 \(f(i-1,j)\) 转移到 \(f(i,nxt(j,s_i))\)，其中 \(nxt\) 表示的是大小标号为 \(i\) 的数字在后面加上数字 \(j\) 所达到数字的大小标号。

现在考虑怎么计算题目所需的答案。可以考虑每“增加”一个字符，就统计所有最后一位为该字符的子串

对于这个自动机每一次转移需要满足 \(s_i<j\bmod11\)。

然后接着考虑内部的 \(nxt\) 怎么求解，我们假设原来的数字排名为 \(k\)，加入的数字为 \(c\)，

那么答案是：

\(9+\sum_{i=1}^{k-1}(i\bmod11)+c+1\)。

由于数据范围较大，这个状态也很有可能有很多个，于是就会达到 \(O(n^2)\) 级别的时间复杂度。

现在时间复杂度需要优化，不然就是在前面的枚举开头字符中减少，不然就是在自动机那里减少。

我们看到有个 \(x\bmod11\) 这个操作，又发现标号 \(i\) 变为 \(i\bmod11\) 对于答案不会产生影响，于是我们就想到优化状态数。

那么此时内部的转移，我们稍微利用一下等差数列（当然也可以直接预处理），答案就是：

\((9+k(k-1)/2+c+1)\bmod11\)。

然后直接两个套就好了。

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
int getnxt(int nowk,char c){
	int nowc=c-'0';
	return (9+((nowk*(nowk-1)/2)%11)+nowc+1)%11;
}
int f[100005][12];
signed main(){
	ios::sync_with_stdio(false);
	string s;
	cin >> s;
	int ans=0;
	
	int n=s.size();
	s=" "+s;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=s[i]-'0'+1;j<=10;j++){
			f[i][getnxt(j,s[i])]+=f[i-1][j];
		}
		if(s[i]>'0'){
			f[i][s[i]-'0']++;
		}
		for(int j=0;j<=10;j++){
			ans+=f[i][j];
		}
	}
	cout<<ans;
}