数论全家桶

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  • • 欧拉定理
    • 中国剩余定理CRT
    • EXCRT
    • LUCAS定理
    • 卡特兰数

欧拉定理

1.结论

\[∀a,m∈Z且gcd(a,m)=1，a^{\varphi(m)}\equiv1\ (mod\ m) \]

欧拉定理的一个常见用法是对指数降幂。

应用当mod数质数时，有

\[a^b \equiv a^{bmod\phi(m)} (mod m), gcd(a,m)=1; \]

例如：https://www.luogu.com.cn/problem/P2480的化简

2.欧拉函数(小于他的并且与他互质的正整数数量和)

\[φ(m)=∑(i=1，m−1) gcd(i,m)=1 \]

中国剩余定理CRT

用于求解同于方程组

\[x\equiv ai(mod\ mi) \]

为两两互质的整数，求x的解。

不管了，直接上求解方法

1.求出所有mod数的乘积，记为M，利用M/mi得到每个的Mi

2.找到Mi在modm下的逆元ti，就是求解

\[Miti\equiv1(mod m) \]

3.最后的解x就是所有的a_i* ti *Mi相加

EXCRT

相比于crt 而言，就是mi不互质了

前提：x的系数必须为1

问题同CRT，但是模数是任意的，并不要求互质。

这时，我们就不能保证存在逆元了。那么如何解决该问题呢？

考虑如何合并两个方程。如果我们找到了合并的方法，就能如法炮制将(n)个方程依次合并起来，得到答案。

\[\left\{ \begin{aligned} x &\equiv a_1 \pmod{m_1} \\ x &\equiv a_2 \pmod{m_2} \end{aligned} \right. \]

去掉同余，化为不定方程

\[\left\{ \begin{aligned} x &= m_1 y_1 + a_1 \\ x &= m_2 y_2 + a_2 \end{aligned} \right. \]

于是得到

\[m_1 y_1 + a_1 = m_2 y_2 + a_2 \]

只要找到一组满足该式的(y_1)和(y_2)，就能反算出(x)，实现合并。

而我们得到的是一个二元一次的不定方程，可以用exgcd求解。

化为标准式

\[m_1 y_1 - m_2 y_2 = a_2 - a_1 \]

解就是了。如果没有解，说明同余方程组无解。

于是最后化得的合并式为

\[x \equiv m_1 y_1 + a_1 \pmod{lcm(m_1,m_2)} \]

至于思考的时候，我认为参考一下以下思考过程

在此之前，不妨先想想普通的扩展中国剩余定理是怎么做的，即所有 b_i=1b**i=1 的情况。

1. 假设已经得到了前 i-1 组同余方程的解，记为 ans；

2. 设 \(M=\operatorname{lcm}(p_1,p_2,\ldots,p_{i-1})\)，则对于任意的整数 x，ans+Mx 是前 i-1 组同余方程的通解；

3. 我们想得到前 \(i\) 组同余方程的解，就是想找到一个 x，满足 \(ans+Mx\equiv a_i\pmod {p_i}；\)

4. 移项得 \(Mx\equiv a_i-ans\pmod{p_i}；\)

5. 这类式子一看就是老扩欧了，转化成 Ax+By=C的形式用扩展欧几里得求解，即：

   \((M)x+(p_i)y=(a_i-ans)\)

   详情可以参考：https://www.luogu.com.cn/blog/emptyset/solution-p4774

LUCAS定理

当mod数p是一个很小（30000没问题）的质数时，存在

\[C_n^m\ mod \ p=C_{n/p}^{m/p}*C_{n\ mod \ p}^{m\ mod\ p} \]

由此可以用于化简

卡特兰数

1.递推式（如下）：

\[h(n)=h(n-1)*(4*n-2)/(n+1)，h(0)=1 \]

2.直接的计算（如下）：

\[h_n=C_{2n}^{n}-C_{2n}^{n-1}=C_{2n}^n/{(n+1)} \]

3.常见应用

a.突多边形的划分方案

b.$ n$个点构成二叉树的种类数

c.按从小到大的顺序放到任意一个数x，都满足放在偶数位上的数字个数小于等于放在奇数位上的数字个数。

d.在网格图上，从$(0,0) \(走到\)(n,n) \(并且不越过\)y=x $这条直线的方案数

其实大多数都可以抽象为d来做

4.例题：https://www.luogu.com.cn/problem/P3200

经过推导后，要求上面的c条件，至于证明，可以看成放在偶数位置就是网格图上向上走1步，奇数位置就是向右走一步，最终要满足这个路径不越过\(y=x\)。

5.取\(mod\)问题：

如上题，\(mod\)数不一定为质数，而且n的范围很大（不能杨辉三角递推），那么该怎么办呢

分解这个\(mod\)数，然后用\(crt\)求解

考虑“直接计算”中的第二个等式,