Codeforces Round 994 (Div. 2)

Codeforces Round 994 (Div. 2)

A

首先答案小于等于 \(2\)。因为对所有数取一次 mex 后，再对得到的数取一次 mex，就得到一个 \(0\)。

考虑什么时候答案为 \(0\)，当且仅当所有数为 \(0\)。

什么时候答案为 \(1\)，数组中前缀是 \(0\)，后缀是 \(0\)，中间是一段非 \(0\)。

其他情况都是 \(2\)。

提交 297474064

B

如果存在某个 p 在 s 前面，显然无解。因为 \(1\) 不可能放到一个合理的位置。

那么考虑最左边的 p（设下标为 \(P\)）和最右边的 s（设下标为 \(S\)），字符串形式如下：

s.s.s.sss....s.....p.p..p.p...p.pp
             ^     ^

不难发现对于这两个 s...p，p 要求 \(1\sim P\) 出现在 \([1, P]\)，而 s 要求 \(1\sim n-S +1\) 出现在 \([S, n]\)，那么 \(1\sim \min(P, n-S+1)\) 就要出现在 \([S, P]\) 中间。

\(1\sim \min(P, n-S+1)\) 有 \(\min(P, n-S+1)\) 个数，\([S, P]\) 有 \(P-S+1\) 个位置。

• 若 \(P < n - S + 1\)，那么要求 \(P \le P - S + 1\)，即 \(S= 1\)。
• 若 \(P>n - S + 1\)，那么要求 \(n-S+1\le P-S+1\)，即 \(n=P\)。

所以最后的条件就是 \(S= 1 \or n= P\)，否则无解。

提交 297474190

C

考虑偶数时，显然有构造 \(0,1,0,1,\cdots,0,1\)。如果 \((x, y)\) 连接了 \((0, 1)\)，对这个原构造没有影响。如果 \((x, y)\) 连接了 \((1, 1)\)，可以让其中一个 \(1\) 改为 \(2\)。如果连接了 \((0, 0)\)，我们可以将构造循环移位一位，就是连接 \((1, 1)\) 了。

奇数时，有构造 \(2,0,1,0,1,\cdots,0,1\)。不难发现，我们通过循环移位，一定可以把 \((x, y)\) 变成连接了 \((2, 1)\) 或 \((2, 0)\)，这两种情况都对原构造没影响。所以奇数只需要循环移位就可以得到合法构造了。

提交 297489003

事实上，这题有一个更强的构造。我们可以对于任意图都构造出一种合法的填数方案。

具体做法是，按照任意顺序填数，填的时候就填「相邻的、已经填过的」节点的 \(\operatorname{mex}\) 即可。

首先这个构造对于当前节点是合法的，其次对于其他已经填好的节点是没影响的，经过有穷步我们可以填完所有节点。

此方法是从 StarSilk 听来的。

D

考虑 dp。设 f[i][j][k] 表示「走到格子 \((i, j)\)，当前行（第 \(i\) 行）循环左移了 \(k\) 位」的最小花费。

主动转移有点困难，主要是 f[i][j][k] -> f[i+1][j][k']。这里的 \(k'\) 可以有 \(m\) 种取值，3D/1D 时间复杂度不对。

考虑被动转移。f[i][j][k] <- f[i][j - 1][k]，这个显然。f[i][j][k] <- min(f[i - 1][j][k'])，这个可以预处理，设

\[g_{i, j} = \min_{k=0}^{m-1} f_{i, j,k} \]

于是转移是 \(O(1)\) 的，时间复杂度 \(O(nm^2)\)。

提交 297515524

E

考虑用异或的性质：\(x\oplus x = 0\)。并且我们知道，一次询问的答案是 \((\mathrm{len}\ge k)\oplus (1 \text{ is in interval})\)。

于是考虑这个表达式 \(\operatorname{ask}(1, n / 4) \oplus \operatorname{ask}(n / 4 + 1, n / 2)=(1\text{ is in }(1, n/4))\oplus(1\text{ is in }(n/4+1, n/2))\)。这个表达式为真当且仅当 \(1\) 在区间 \([1, n / 2]\)。

于是花费两次询问，我们知道 \(1\) 在 \([1, n / 2]\) 还是 \((n / 2, n]\)。不妨设 \(1\) 在 \([1, n / 2]\)。

接下来询问 \(\operatorname{ask}(n / 2 + 1, n)\)，这个表达式的值可以告诉我们 \(n/2\ge k\) 是否为真。

1. 若 \(k>n/2\)，那么我们令接下来的所有询问区间覆盖 \([1, n / 2]\)，询问的答案就是 \((\mathrm{len}\ge k)\oplus 1\) 了，我们可以二分得到 \(k\) 的值。
2. 若 \(k\le n/2\)，那么我们令接下来的所有询问区间都不覆盖 \([1, n / 2]\)，询问的答案就是 \(\mathrm{len}\ge k\) 了，我们可以二分得到 \(k\) 的值。

提交 297544693

F

没看。

就到这。