斜率优化总结
好久不见，长假过后焕然一新的我回来了……
第一次学斜率优化是2年前…现在才写总结【微笑】
参考：论文《1D\1D动态规划优化初步》
斜率优化是干啥的?
对动态规划的优化，将其 \(O(n^2)\) 的复杂度降为 \(O(nlogn)\) 或 \(O(n)\)
第一次学还是初一，啥都不懂，只是觉得这种类似数形结合的方法真的很妙！
斜率优化模型
状态转移方程类似这样：
$ f[i]=\mathop{\min}\limits_{j=1}^{i-1} \lbrace a[i]\times x[j] + b[i] \times y[j] \rbrace $
我们可以把 \(x[i]\) 当成横坐标， \(y[i]\) 当成纵坐标，那么 \((x[i],y[i])\) 可当做平面直角坐标系中一个点
$ f[i]=a[i] \times x[j] + b[i] \times y[j]$ 便表示平面内的一条直线，换个形式写为：
$ y[j]=-\frac{a[i]}{b[i]} \times x[j] + \frac{1}{b[i]} \times f[i]$
其中斜率 \(-\frac{a[i]}{b[i]}\) 为定值，\(f[i]\) 前系数 \(\frac{1}{b[i]}\) 为定值，对于不同的 \(j\) ， \(x[j],y[j]\) 均已知
即对每个 \(j\) 可确定一条直线
要 \(f[i]\) 最小即要这条直线的纵截距最小
可以理解为一条斜率确定的线从下向上平移，碰到的第一个点为最优决策点 \(j\)
而一个重要的性质叫做：所有最优决策点都在平面点集的凸包上
（为什么大家都说显然啊…画图可直观理解，但证明大概要用线性规划知识…？orz）
然后可根据这个事实进行优化。
另一种理解方式
个人认为可更好想明白为啥在凸包上……
状态转移方程仍类似这样：
$ f[i]=\mathop{\min}\limits_{j=1}^{i-1} \lbrace a[i]\times x[j] + b[i] \times y[j] \rbrace $
我们考虑两个决策点 \(j\) 与 \(k\) ，若满足 \(j>k\) 且 \(j\) 优于 \(k\)，则
移项可知 \(-\frac{a[i]}{b[i]}\) 与 \(\frac{y[j]-y[k]}{x[j]-x[k]}\) 的大小关系
\(-\frac{a[i]}{b[i]}\) 是已知确定的，设其为 \(kk\)
同样把 \((x[i],y[i])\) 看做平面直角坐标系中的点，\(\frac{y[j]-y[k]}{x[j]-x[k]}\) 就为两点所在直线斜率
上述式子有两种情况：
情况一：\(\frac{y[j]-y[k]}{x[j]-x[k]} > kk\)
翻译成文字：若这两点斜率大于 \(kk\) 则 \(j\) 优于 \(k\)，反之亦然
那么所有的最优决策点不会出现如下图情况：
原因是：图中 \(k_{ab}<k_{bc}\)
若 $ k_{ab} \leq kk$，则 \(a\) 优于 \(b\) ， \(b\) 不是最优决策点
若 \(kk<k_{ab}<k_{ac}\)，则考虑 \(bc\) 段， \(c\) 优于 \(b\) ， \(b\) 又不是最优决策点
所以最优决策点只能在一个斜率递减的凸包上。
情况二： \(\frac{y[j]-y[k]}{x[j]-x[k]} > kk\)
与第一种情况类似，（略过长串过程），最优决策点只能在一个斜率递增的凸包上。
这就是一个很妙的性质啦！
应用分类
决策直线斜率与二元组坐标同时满足单调性
这应该是最经典最常见的应用了。
由于斜率变化单调，所以决策点在凸包上只会单调移动。
我们只需维护一个单调队列及决策指针，每次决策时移动指针至最优决策点，决策，然后将新状态插入队列中，删点维护凸壳。
复杂度 \(O(n)\)
例题挺多啦，如 \(bzoj1010\) 玩具装箱，\(bzoj1096\) 仓库建设……
这里以 \(bzoj3156\) 防御准备 为例
题目：https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=3156
令 \(dp[i]\) 表示在第 \(i\) 个检查点放置守卫塔且前 \(i\) 个检查点通过安全检查的最小花费
可列出状态转移方程：
令 \(dp[i]+\frac{1}{2}i^2 + \frac{1}{2}i\) 为 \(x[i]\)，\(i\) 为 \(y[i]\)
原方程可化为 $dp[i]==\mathop{\min}\limits_{j=0}^{i-1} \lbrace 1 \times x[j] - i \times y[j] \rbrace+a[i]+\frac{1}{2}i^2-\frac{1}{2}i $
最优决策点在斜率递减的凸包上
决策指针移动时不断删头，最优决策取队首
代码：
注意 \(dp[0]\) 的赋值以及 \(long long\)
#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N = 1000005;
typedef long long ll;
ll n;
ll q[N],h,t;
ll a[N],dp[N],g[N];
int main()
{
scanf("%d",&n);
for(ll i=1;i<=n;i++) scanf("%lld",&a[i]);
h=t=0;
dp[0]=g[0]=0;
q[t++]=0;
for(ll i=1;i<=n;i++){
while(t-h>1 && g[q[h+1]]-g[q[h]]<=i*(q[h+1]-q[h])) h++;
dp[i]=a[i]+1ll*i*(i-1)/2+g[q[h]]-i*q[h];
g[i]=dp[i]+i*(i+1)/2;
while(t-h>1 && (g[q[t-1]]-g[q[t-2]])*(i-q[t-1])>=(g[i]-g[q[t-1]])*(q[t-1]-q[t-2])) t--;
q[t++]=i;
}
printf("%lld\n",dp[n]);
return 0;
}
其它情况
一种方法是用平衡树动态维护凸壳
另一种则是用 \(CDQ\) 分治。
复杂度 \(O(nlogn)\)
例题如 \(bzoj1492[NOI2007]\) 货币兑换
题目：https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=1492
题目真是复杂666
设 \(dp[i]\) 表示第 \(i\) 天可获得的最多的钱
状态转移方程：
需要维护斜率递减的凸包
代码：
先是 \(splay\) 版的
细节很多，要多多多注意
\(eps\) 要坑死我了。。。
#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#define INF 1e12
#define eps 1e-9
using namespace std;
const int N = 100005;
typedef double db;
int n;
db s,A[N],B[N],R[N],dp[N];
struct node{
db x,y,lk,rk;
node *ch[2],*pa;
}pool[N],*root,*rf,*tmp;
int cnt;
db sl(node *p,node *q){
if(fabs(p->x-q->x)<eps) return INF;
return (p->y-q->y)/(p->x-q->x);
}
void rotate(node *p,int ty){
node *pa=p->pa,*son=p->ch[ty^1],*gp=pa->pa;
pa->ch[ty]=son; if(son) son->pa=pa;
p->ch[ty^1]=pa; pa->pa=p;
p->pa=gp; gp->ch[pa==gp->ch[1]]=p;
if(root==pa) root=p;
}
void splay(node *p,node *q){
while(p->pa!=q){
if(p->pa->pa==q)
rotate(p,p==p->pa->ch[1]);
else{
node *pa=p->pa,*gp=pa->pa;
int f=pa==gp->ch[0]; /**/
if(p==pa->ch[f]) rotate(p,f),rotate(p,!f);
else rotate(pa,!f),rotate(p,!f);
}
}
}
void insert(node *p,node *nd){
int f=(nd->x>p->x || fabs(nd->x-p->x)<eps);
if(!p->ch[f]){
p->ch[f]=nd;
nd->pa=p;
}
else insert(p->ch[f],nd);
}
node *findl(node *p,node *nd){ /**/
if(!p) return p;
db k=sl(p,nd);
node *q;
if(k<p->lk || fabs(k-p->lk)<eps){
q=findl(p->ch[1],nd);
return q ? q : p ;
}
else return findl(p->ch[0],nd);
}
node *findr(node *p,node *nd){
if(!p) return p;
db k=sl(p,nd);
node *q;
if(k>p->rk || fabs(k-p->rk)<eps){
q=findr(p->ch[0],nd);
return q ? q : p ;
}
else return findr(p->ch[1],nd);
}
void Ins(node *nd){
insert(root,nd);
splay(nd,rf);
node *p=findl(nd->ch[0],nd),*q=findr(nd->ch[1],nd);
if(p){
splay(p,root);
p->ch[1]=NULL;
nd->lk=p->rk=sl(p,nd);
}
else nd->lk=INF;
if(q){
splay(q,root);
q->ch[0]=NULL;
nd->rk=q->lk=sl(q,nd);
}
else nd->rk=-INF;
if(nd->lk < nd->rk) {// del nd
if(p && q) { splay(p,rf); splay(q,root); q->ch[0]=NULL; }
else if(p) { splay(p,rf); p->ch[1]=NULL; }
else if(q) { splay(q,rf); q->ch[0]=NULL; }
}
}
node *query(node *p,db k){
if(p->lk<k) return query(p->ch[0],k);
if(p->rk>k) return query(p->ch[1],k);
return p;
}
int main()
{
scanf("%d",&n); scanf("%lf",&s);
for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%lf%lf%lf",&A[i],&B[i],&R[i]);
rf=&pool[++cnt];
for(int i=1;i<=n;i++){
if(i==1) dp[i]=s;
else{
tmp=query(root,-A[i]/B[i]);
dp[i]=max(dp[i-1],A[i]*tmp->x+B[i]*tmp->y);
}
tmp=&pool[++cnt];
tmp->y=dp[i]/(A[i]*R[i]+B[i]); tmp->x=tmp->y*R[i];
if(!root) {
root=tmp;
root->pa=rf; rf->ch[0]=root;
root->lk=INF; root->rk=-INF;
}
else Ins(tmp);
}
printf("%.3lf\n",dp[n]);
return 0;
}
然后是 \(CDQ\) 分治
先上一篇 \(CDQ\) 大神论文，第一个例子就是这题：https://wenku.baidu.com/view/52f9c11cff00bed5b9f31d2d.html
