[bzoj2286] [洛谷P2495] [sdoi2015] 消耗战
Description
在一场战争中，战场由 \(n\) 个岛屿和 \(n-1\) 个桥梁组成，保证每两个岛屿间有且仅有一条路径可达。现在，我军已经侦查到敌军的总部在编号为1的岛屿，而且他们已经没有足够多的能源维系战斗，我军胜利在望。已知在其他 \(k\) 个岛屿上有丰富能源，为了防止敌军获取能源，我军的任务是炸毁一些桥梁，使得敌军不能到达任何能源丰富的岛屿。由于不同桥梁的材质和结构不同，所以炸毁不同的桥梁有不同的代价，我军希望在满足目标的同时使得总代价最小。
侦查部门还发现，敌军有一台神秘机器。即使我军切断所有能源之后，他们也可以用那台机器。机器产生的效果不仅仅会修复所有我军炸毁的桥梁，而且会重新随机资源分布（但可以保证的是，资源不会分布到1号岛屿上）。不过侦查部门还发现了这台机器只能够使用 \(m\) 次，所以我们只需要把每次任务完成即可。
Input
第一行一个整数 \(n\)，代表岛屿数量。
接下来 \(n-1\) 行，每行三个整数 \(u,v,w\)，代表 \(u\) 号岛屿和 \(v\) 号岛屿由一条代价为 \(c\) 的桥梁直接相连，保证 \(1\leq u,v \leq n\) 且$ 1 \leq c \leq 100000$。
第 \(n+1\) 行，一个整数 \(m\)，代表敌方机器能使用的次数。
接下来 \(m\) 行，每行一个整数 \(k_i\) ，代表第 \(i\) 次后，有 \(k_i\) 个岛屿资源丰富，接下来 \(k\) 个整数 $ h_1,h_2,…h_k$，表示资源丰富岛屿的编号。
Output
输出有 \(m\) 行，分别代表每次任务的最小代价。
Sample Input
10
1 5 13
1 9 6
2 1 19
2 4 8
2 3 91
5 6 8
7 5 4
7 8 31
10 7 9
3
2 10 6
4 5 7 8 3
3 9 4 6
Sample Output
12
32
22
HINT
对于100%的数据，\(2\leq n \leq 250000,1 \leq m,\sum k_i \leq 500000,1 \leq k_i \leq n-1\)
想法
注意到数据范围中重要的提示 $\sum k_i \leq 500000 $
于是我们对于每次询问把需要用到的点（最多 \(2k\) 个）挑出来建成一棵新树，然后在新树上进行树形dp就行了
说的好容易的样子…实际上“新树”就是“虚树”，它的建树过程是十分巧妙的。
首先把询问点根据原树DFS序排序，显然这些点都要出现在虚树中来，而且为了保证结构不被破坏，另外一些跟他们有关系的点都要加入到虚树中来。我们用一个栈，维护原树上的一条链，自栈底到栈顶，深度由小变大。每次考虑插入询问点进栈。如果插入点的祖先是栈顶元素，那么直接插入即可，因为反正是一条链上的结点。如果不是的话，那么只有可能分居他们的lca的两棵子树中。现在我们就需要分类讨论，如果栈顶元素的下一位的深度比lca深，那么我们需要不断弹出栈顶元素，并且在弹出之前与栈顶下一位连一下边。直到lca深度比栈顶元素深，此时把lca加入栈，把需要插入的点加入栈，继续往下处理。又因为我们是按DFS序做的，这样就可以保证我们开始说的，维护的是树上的一条链。之后再DP就可以了。
——by ljh2000
代码
#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define INF 1e14
typedef long long ll;
using namespace std;
const int N = 250005;
struct node{
int v,len;
node *next;
}pool[N*2],*h[N],pool2[N*2],*h2[N];
int cnt,cnt2;
void addedge(int u,int v,int l){
node *p=&pool[++cnt],*q=&pool[++cnt];
p->v=v;p->next=h[u];h[u]=p;p->len=l;
q->v=u;q->next=h[v];h[v]=q;q->len=l;
}
void addedge2(int u,int v,int l){
node *p=&pool2[++cnt2];
p->v=v;p->next=h2[u];h2[u]=p;p->len=l;
}
int n,m;
int dfn[N],f[N][20],fmin[N][20],dep[N],tot;
void dfs(int u){
int v;
dfn[u]=++tot;
for(node *p=h[u];p;p=p->next)
if(!dfn[v=p->v]){
f[v][0]=u; fmin[v][0]=p->len;
for(int j=1;j<20;j++){
f[v][j]=f[f[v][j-1]][j-1];
fmin[v][j]=min(fmin[f[v][j-1]][j-1],fmin[v][j-1]);
}
dep[v]=dep[u]+1;
dfs(v);
}
}
int lca(int x,int y){
if(dep[x]<dep[y]) swap(x,y);
for(int i=19;i>=0;i--)
if(dep[f[x][i]]>=dep[y]) x=f[x][i];
if(x==y) return x;
for(int i=19;i>=0;i--)
if(f[x][i]!=f[y][i])
x=f[x][i],y=f[y][i];
return f[x][0];
}
int mindis(int x,int y){
if(dep[x]<dep[y]) swap(x,y);
if(x==y) return 0;
int t=N;
for(int i=19;i>=0;i--)
if(dep[f[x][i]]>=dep[y]){
t=min(t,fmin[x][i]);
x=f[x][i];
}
return t;
}
ll w[N];
int g[N];
void dp(int u){
int v;
w[u]=0;
for(node *p=h2[u];p;p=p->next){
dp(v=p->v);
w[u]+=min(w[v],(ll)p->len);
}
h2[u]=NULL; //clear 保证每次邻接矩阵清空效率为O(k)
if(g[u]) w[u]=INF;
}
int st[N],top;
int K,k[N];
bool cmp(int x,int y) { return dfn[x]<dfn[y]; }
void work(){
cnt2=0; //clear
sort(k,k+K,cmp);
//build tree
top=0; st[top++]=1;
for(int i=0;i<K;i++){
int now=k[i],f=lca(now,st[top-1]);
while(1){
if(top<=1) { if(st[top-1]!=f) st[top++]=f; break; }
if(dep[f]>=dep[st[top-2]]){
if(f!=st[top-1]) addedge2(f,st[top-1],mindis(f,st[top-1]));
if(f==st[top-2]) top--;
else st[top-1]=f;
break;
}
addedge2(st[top-2],st[top-1],mindis(st[top-1],st[top-2]));
top--;
}
if(now!=st[top-1]) st[top++]=now;
}
while(top>1) {
addedge2(st[top-2],st[top-1],mindis(st[top-1],st[top-2]));
top--;
}
dp(1);
printf("%lld\n",w[1]);
}
int main()
{
int u,v,l;
scanf("%d",&n);
for(int i=1;i<n;i++){
scanf("%d%d%d",&u,&v,&l);
addedge(u,v,l);
}
dep[1]=1; dfs(1);
scanf("%d",&m);
while(m--){
scanf("%d",&K);
for(int i=0;i<K;i++) scanf("%d",&k[i]),g[k[i]]=1;
work();
for(int i=0;i<K;i++) g[k[i]]=0;
}
return 0;
}
