复习笔记——博弈论

公平组合游戏 ICG

1.两名玩家交替
2.操作与是哪名玩家无关
3.不能行动者判负

公平组合游戏都是有向图游戏(一个状态指向另一个状态)
都可以使用 \(SG\) 定理

每个状态要么是“必胜态”,要么是“必败态”
必胜态一定能走到必败态
必败态无论怎么走都走到必胜态

例子——nim游戏

\(n\) 堆石子,大小为 \(a_i\) ,两人轮流选一堆取至少一个,取走最后一个石子者胜(即没的取得人输)

\(t=a_1 \ XOR \ a_2 \ XOR \ \dots XOR \ a_n\)
\(t=0\) ,先手负
\(t \neq 0\) ,先手胜

SG函数与SG定理

SG函数:
\(x\) 的后继节点为 \(y_1,y_2,...\)
\(SG(x)=mex{SG(y_1),SG(y_2),...}\)

SG定理:
定义有向图游戏的和 \(G\) ——\(m\)个有向图游戏 \(G_1,G_2,...,G_m\) ,每次操作可任选一个游戏操作
\(SG(G)=SG(G_1)\ XOR \ SG(G_2) \ XOR \ ... \ SG(G_m)\)

\(SG(G)=0\),先手负
\(SG(G) \neq 0\),先手胜


一些变形

multi-SG

一个状态 \(G\) 在一次操作后可拆成若干子状态 \(g_i\) ,则可看成把这些子状态看为一个状态 \(F\),$SG(F)=SG(g_1) \ XOR \ SG(g_2) \ ... $
其他的都一样

阶梯nim

\(n\) 堆石子,大小为 \(a_i\)
每次可选取一堆 \(i\) ,取至少一个石子,挪到第 \(i-1\)
最终要所有石子挪到第 \(0\) 堆。无法操作者负。

可看成是奇数位的堆做 \(nim\)

anti-SG

规则不同——无法操作者胜

\(SJ\) 定理
对某一局面,先手必胜的条件为以下两条之一:
1.所有单一状态的 \(SG\) 值不大于1,该局面 \(SG\) 值为0
2.存在单一状态的 \(SG\) 值大于1,该局面的 \(SG\) 值大于0

posted @ 2020-08-01 22:11  秋千旁的蜂蝶~  阅读(27)  评论(0编辑  收藏