矩阵的秩和逆

秩

定义

矩阵的秩用以描述各列向量或行向量当中线性无关的向量数

求法

通过高斯消元法利用矩阵的线性变换，将每一列或行尽可能多的制造出零的前导
当出现剩余部分全为零或者没有零行出现时，非零行数或列数即为矩阵的秩

例如

\[\begin{align*} A &= \begin{bmatrix}1&2&3\\2&4&5\\3&6&8\end{bmatrix} \\ & \xrightarrow{r_2-2r_1,\ r_3-3r_1} \begin{bmatrix}\boxed{1}&2&3\\0&0&\boxed{1}\\0&0&-1\end{bmatrix} \\ & \xrightarrow{r_3+r_2} \begin{bmatrix}\boxed{1}&2&3\\0&0&\boxed{1}\\0&0&0\end{bmatrix} \\ \text{rank}(A) &= 2 \end{align*}\]

原理

通过线性变换将各个列向量进行有目的的自由组合拆去某一维分量，当该维分量全部拆解完毕后，所余下的就是他的矩阵的秩，也就是线性无关的向量数

逆

定义

矩阵的逆也就是使用这一个矩阵对原矩阵进行操作后，得到单位矩阵的矩阵。可以做到类似于除法的效果

\[AA^{-1}=E \]

求法

线性变换

我们通常使用行线性变换
我们利用线性变换的特点，也就是任意一个矩阵都可以看作，单位矩阵经过线性变换后得到的结果。