51Nod 1185 威佐夫游戏 V2（威佐夫博弈+模拟乘法）

51Nod - 1185 威佐夫游戏 V2

Description

有2堆石子。A B两个人轮流拿，A先拿。每次可以从一堆中取任意个或从2堆中取相同数量的石子，但不可不取。拿到最后1颗石子的人获胜。假设A B都非常聪明，拿石子的过程中不会出现失误。给出2堆石子的数量，问最后谁能赢得比赛。

例如：2堆石子分别为3颗和5颗。那么不论A怎样拿，B都有对应的方法拿到最后1颗。

Input

第1行：一个数T，表示后面用作输入测试的数的数量。（1 <= T <= 10000)
第2 - T + 1行：每行2个数分别是2堆石子的数量，中间用空格分隔。(1 <= N <= 10^18)

Output

共T行，如果A获胜输出A，如果B获胜输出B。

Input示例

3
3 5
3 4
1 9

Output示例

B
A
A

题解

题意

中文题面

思路

初看好像只是简单地威佐夫游戏，但是由于值比较大1e18，所以会产生(sqrt(5)+1)/2的不精确性，所以应当采用模拟乘法的方式。

上面提到，由于是大数，直接乘以(sqrt(5)+1)/2会有精度问题。那么我们就来模拟一下两数之差和(sqrt(5)+1)/2相乘的过程，它等价为：(b-a)*黄金分割比例+(b-a) . 我们用tmp数组存储黄金分割比例的小数点后1_9位、1018位、19~27位。用l存储(b-a)的高9位，r存储(b-a)的低9位。则两数相乘有：

tmp[0]       tmp[1]      tmp[2]
    
* 							ta                tb       

			    tb*tmp[0]    tb*tmp[1]     tb*tmp[2]  
    
+  ta*tmp[0]    ta*tmp[1]     ta*tmp[2]

以上是模拟乘法的过程，只需要把每一位对应的数相加再加上低位，最后加上(b-a)即可。

注：

之前有一点一直没想明白，我们要乘以的是黄金分割比0.618…而tmp数组存储的缺是一个27位的大整数。代码中结果却没有明显的再除以10^27的式子。这是怎么回事呢？其实我们需要的是结果的整数部分，最低9位的结果只会对次低9位的结果产生影响，依此类推。所以下面代码在计算结果的时候都是当前位的值加上 次低9位/mod 的值。一共除以了3次，也就相当于让结果共除以了10^27。

代码

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<string>
#include<vector>
#include<stack>
#include<bitset>
#include<cstdlib>
#include<cmath>
#include<set>
#include<list>
#include<deque>
#include<map>
#include<queue>
using namespace std;
typedef long long ll;
const double PI = acos(-1.0);
const double eps = 1e-6;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
int T;
ll tmp[3] = {618033988,749894848,204586834};
const ll MOD = 1e9;

int main() {
     int t;  
    scanf("%d",&t);
    while(t --){
        ll a,b;
        scanf("%lld %lld",&a,&b);        
        if(a>b){
            ll t = a;
            a = b;
            b = t;
        }
        ll k = b - a;
        ll ta = k/MOD;
        ll tb = k%MOD;
        ll tp = tb * tmp[2];
        tp = ta * tmp[2] + tb * tmp[1] + tp / MOD;
        tp = ta * tmp[1] + tb * tmp[0] + tp / MOD;
        tp = ta * tmp[0] + tp / MOD + k; 

        if(tp == a)
            printf("B\n");
        else
            printf("A\n");
        
    }
}