limit 的神仙数论函数题#1 题解

题意：定义一个数论函数 \(f(i) = 1 \oplus 2 \oplus 3 \oplus 4... \oplus i\)，求 \(\sum_{i=1}^n f(i)\)

发现这个函数有性质

\[f(i)=\begin{cases} 0\ (i\operatorname{mod} 4=3) \\ i\ (i\ \operatorname{mod} 4=0) \\ 1 \ (i \ \operatorname{mod} 4=1) \\ i+1 \ (i \ \operatorname{mod} 4=2) \end{cases} \]

只要证明 \(f(i)=0 \ (i \operatorname{mod} 4=3)\) 就可以了，其他的证明起来就可以根据这个，无比显然。

根据神 \(\sf\color{black}{0}\color{red}{0ffcc}\) 的方法，把 \(i\) 个数字分成 \(\frac{i+1}{2}\) 组，其中 \(1\) 单独一组，每个偶数 \(i\) 和 \(i+1\) 成一组。

可以发现每一组的异或和都是 \(1\) ，把这些组的异或和异或起来，发现答案和 \(\frac{i+1}{2}\) 的奇偶性有关，\(\frac{i+1}{2} \operatorname{mod} 2=0\) 的时候答案就是 \(0\)

然后理性推导一下：

\[\frac{i+1}{2} \equiv 0 \pmod 2 \\ i+1 \equiv 0 \pmod 4 \\ i \equiv -1 \equiv 3 \pmod 4 \]

然后发现就是我们要证的那个东西。然后证毕。

推出了 \(f(i)\) 的性质后要求出 \(\sum_{i=1}^n f(i)\) 便犹如探囊取物一般简单。