网络流小结

一些结论：

1.最大流=最小割
2.最小链覆盖=最长反链
3.平面图最小割=最大流=对偶图最短路
4.最大独立集=全集-最大匹配
5.最小覆盖数=最大匹配数
6.最小割树上的两点min距离等于两点在图上的最小割

 

一些模型：

 

1.文理分科模型
对于不能同时选取的情况直接加inf边限制
对于两种选择取max的情况可以考虑把一种选择连源点,另一种选择连汇点,通过割边选择方案

2.切糕模型
对于两种情况不能同时选取时,可以用"联通性"考虑,表示两种情况如果同时选取的话就令s和t无法分离,从而达不成割集,不可能是答案的效果

3.最大权闭合子图模型
比较简单,如果有那种选一个东西可以盈利,结果会带来负面东西的题目的话直接用就行

4.棋盘模型
可以把网络流中的流量当做是点在移动

5.黑白染色模型
比如说对棋盘的某个操作会同时影响棋盘周围一格的时候,可以按奇偶性对棋盘进行黑白染色,黑点连源点白点连汇点

6.补集转换
可以把"至少为a[i]"转为"至多是inf-a[i]"的限制,从而方便地进行网络流

7.紧急疏散模型
拆点,不过只拆汇点

8.最大密度子图问题
二分答案k,选择一条边表示得到权值1,选择边连带着得到的点表示得到权值-k,转换为最大权闭合子图问题

上下界网络流

9.新型城市化

这题除了题意看不懂以外其他都还好..

通过各种转化把问题转化为求二分图的必经边

只需在残量网络中缩点(边要全满流),然后判定边的两个端点是否在同一点中且满流即可

另外这题还有一个重要思想就是状态取反(任意两个点之间有边->任意两个点之间无边,无边->有边)

10.上下界网络流

• 无源汇上下界可行流

对于每条下界为 bb ,上界为 cc 的边，我们可以假设这条边已经流满了下界，但是这样做我们发现会流量不平均，违反了网络流的流量守恒条件

可以建源点 s's′ 和汇点 t't′ ,若有点的入流量大于出流量，那么往源点连边，反之往汇点连边，正确性是显然的。

如果 s's′ 伸出来的边没有流满，那么就不满足流量守恒，此时无解。

• 有源汇上下界可行流

加一条从 tt 到 ss ,大小为 inf 的附加边，然后就转化为无源汇上下界可行流问题，轻松做。

至于可行流的流量就是附加边的已流量

• 有源汇上下界最大流

先加附加边然后再做，发现做了可行流之后可能有流没有流满，那么就删去附加边，以 s 为源点，t 为汇点跑最大流

把可行流和最大流加起来就可以了

• 有源汇上下界最小流

和上面的方法差不多，只是要求能退掉的最大流，那么就以 tt 为源点， ss 为汇点再跑一次最大流即可

注：上面两项中再跑一次最大流是在残量网络中跑