CF1278F - Cards (dp，概率)

题意

[sourse](Problem - 1278F - Codeforces)

你有一副扑克牌，包含\(m\)张牌，其中只有1张鬼。每次操作会将牌打乱一次，然后查看最顶部的牌是否是鬼(打乱是完全随机打乱，即\(m!\)种排列中等概率选一种)。设\(n\)次操作后其中有\(x\)次是鬼，求\(x^k\)的期望，答案模998244353。

\(1\le n, m \le 998244352\)，\(k\le 5000\)

题解

显然牌顶出现鬼的概率是\(p=\frac{1}{m}\)。

假设随机变量\(X_i=\{0,1\}\)代表第\(i\)次操作的结果。\(X_i\)是独立同分布的，满足概率为\(p\)的伯努利分布，有\(E(X_i)=p\)。故\(x^k\)期望为\(E((X_1+X_2+...+X_n)^k)\)。展开后可得

\[E(\sum{X_1^{c_1}X_2^{c_2}...X_n^{c_n}})=\sum{E(X_1^{c_1}X_2^{c_2}...X_n^{c_n})} \]

对于其中任一项\(E(X_1^{c_1}X_2^{c_2}...X_n^{c_n})=\prod\limits_{i=1}^n{E(X_i^{c_i})}\)。又因为\(E(X_i^{c_i})=E(X_i^{[c_i>0]})\)，故

\[E((X_1+X_2+...+X_n)^k)=\sum{E(X_{p_1}^{c_1}X_{p_2}^{c_2}...X_{p_t}^{c_t})}=\sum{E(X_{p_1}X_{p_2}...X_{p_t})}\\c_1,c_2,...,c_t>0 \]

设\(f(j,i)\)代表从\(1\sim i\)这\(i\)个数中取\(j\)次(有放回)，取出的\(j\)个数包括所有\(i\)个数的取法数，那么答案就是

\[\sum_{i=1}^{n}{p^i \cdot C(n,i)\cdot f(k,i)} \]

其中

\[f(j,i)=(f(j-1，i)+f(j-1，i-1))\cdot i \]

时间复杂度\(O(k^2)\)

#include <bits/stdc++.h>

#define endl '\n'
#define IOS std::ios::sync_with_stdio(0); cin.tie(0); cout.tie(0)
#define mp make_pair
#define seteps(N) fixed << setprecision(N) 
typedef long long ll;

using namespace std;
/*-----------------------------------------------------------------*/

ll gcd(ll a, ll b) {return b ? gcd(b, a % b) : a;}
#define INF 0x3f3f3f3f

const int N = 5e3 + 10;
const int M = 998244353;
const double eps = 1e-5;

ll f[N][N], rfact[N];

inline ll qpow(ll a, ll b, ll m) {
	ll res = 1;
	while(b) {
		if(b & 1) res = (res * a) % m;
		a = (a * a) % m;
		b = b >> 1;
	}
	return res;
}

int main() {
	IOS;
	rfact[0] = 1;
	for(int i = 1; i < N; i++) rfact[i] = rfact[i - 1] * qpow(i, M - 2, M) % M;
	f[1][1] = 1;
	for(int i = 2; i < N; i++) {
		for(int j = 1; j <= i; j++) {
			f[i][j] = (f[i - 1][j] + f[i - 1][j - 1]) * j % M;
		}
	}
	int n, m, k;
	cin >> n >> m >> k;
	ll p = qpow(m, M - 2, M);
	ll ans = 0;
	ll pw = p;
	ll c = n;
	for(int i = 1; i <= k; i++) {
		ans = (ans + pw * c % M * rfact[i] % M * f[k][i] % M) % M;
		pw = pw * p % M;
		c = c * (n - i) % M;
	}
	cout << ans << endl;
}