CF1523E - Crypto Lights(概率dp，组合数学)

题目

有\(n\)盏灯排成一排，初始时所有的灯是灭的。每次会等概率随机点亮一个灭的灯。如果存在连续\(k\)盏灯中有大于1盏灯是亮的，则结束。给定\(n\)和\(k\)，问期望的灯的数量是多少。

题解

假设有\(i\)盏灯被点亮，那么它们的间隔均大于等于\(k\)。故\(i\)盏灯被点亮的顺序不重要，确定了这\(i\)盏灯的位置，任意一种取的顺序都是合法的。设\(f_i\)代表第\(i\)盏灯被点亮依旧合法的情况数，那么有\(i\)盏灯被点亮后依旧合法的概率\(g_i\)为

\[g_i=(\prod_{j=0}^{i-1}\frac{1}{n-j} )i! \cdot f_i \]

又有

\[g_i=g_{i+1}+P(第i+1盏灯点亮后不合法) \]

故答案为

\[\sum\limits_{i=1}^{n}{(g_i-g_{i+1})(i+1)} \]

考虑计算\(f_i\)，即在1~n中选择\(i\)个数\((1\le a_1< a_2<...<a_i \le n)\)使得它们之间间隔大于等于\(k\)的方案数。作差分有\(b_j=a_{j}-a_{j-1}\)，那转换为\(b_1 \ge 1\)，\(b_j\ge k\)，\(\sum{b_j} \le n\)。直接转换为盒子放球模型解决，相当于\(n-(i-1)\cdot k\)个球放入\(i+1\)个盒子，除了第1个盒子至少放一个，其余盒子可放可不放，有

\[f_i=C(n-(i-1)\cdot k + i - 1, i) \]

#include <bits/stdc++.h>

#define endl '\n'
#define IOS std::ios::sync_with_stdio(0); cin.tie(0); cout.tie(0)
#define mp make_pair
#define seteps(N) fixed << setprecision(N) 
typedef long long ll;

using namespace std;
/*-----------------------------------------------------------------*/

ll gcd(ll a, ll b) {return b ? gcd(b, a % b) : a;}
#define INF 0x3f3f3f3f

const int N = 3e5 + 10;
const int M = 1e9 + 7;
const double eps = 1e-5;

ll fact[N], rfact[N];

inline ll qpow(ll a, ll b, ll m) {
	ll res = 1;
	while(b) {
		if(b & 1) res = (res * a) % m;
		a = (a * a) % m;
		b = b >> 1;
	}
	return res;
}

ll C(int n, int m) {
	if(m > n) return 0;
	return fact[n] * rfact[n - m] % M * rfact[m] % M;
}

ll p[N];

int main() {
	IOS;
	fact[0] = rfact[0] = 1;
	for(int i = 1; i < N; i++) {
		fact[i] = fact[i - 1] * i % M;
		rfact[i] = rfact[i - 1] * qpow(i, M - 2, M) % M; 
	}
	int t;
	cin >> t;
	while(t--) {
		int n, k;
		cin >> n >> k;
		for(int i = 1; i <= n + 1; i++) p[i] = 0;
		ll pw = 1;
		for(int i = 1; i <= n; i++) {
			pw = pw * qpow(n - i + 1, M - 2, M) % M;
			int ret = n - (i - 1) * k;
			if(ret < 0) break;
			p[i] = C(ret + i - 1, i) * pw % M * fact[i] % M;
		}
		ll ans = 0;
		for(int i = 1; i <= n; i++) {
			ans = (ans + (i + 1) * (p[i] - p[i + 1]) % M + M) % M;
		}
		cout << ans << endl;
	}
}