随笔分类 - [数学] 数论基础
摘要：所谓的亚线性筛，是指一类用低于线性复杂度求出积性函数前缀和的方法。 杜教筛 杜教筛可以在$O(n^{\frac{2}{3}})\(的时间复杂度求出\)\sqrt{n}$ 个点值，原理和实现都比较简单。 原理与实现 对于数论函数$f$，要求计算$S(n)=\sum\limits_{i=1}^{n}{f
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摘要：欧几里得算法 gcd，\(O(\log n)\) ll gcd(ll a, ll b) {return b ? gcd(b, a % b) : a;} lcm，\(O(\log n)\) // 注意数据范围，过大的数要用__int128 ll lcm(ll a, ll b) {return a *
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摘要：Miller-Rabin素性测试 用于快速判断一个大数是不是素数。时间复杂度$O(k\log^3(n))$，$k$为测试轮数。如果底数随机，一般取$k=8$。 一个很好的博客：素数与素性测试 ll qpow(ll a, ll b, ll m) { ll res = 1; while(b) { if(
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摘要：之前做题要用到min25筛，就断断续续地学了几下，用后即忘，简直就是浪费时间。不如现在好好记下来，巩固一下记忆。 在找博客学习过程中发现了一个写得非常好的博客：Min-25筛学习笔记 | LNRBHAW，配合Min_25 筛 - OI Wiki (oi-wiki.org)食用，效果很好。 作用和适用
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摘要：题目 Consider n's prime factorization is \(n=p_1^{a_1}p_2^{a_2}...p_k^{a_k}\), and \(\lambda(n)=(-1)^{a_1+a_2+...+a_k}\). Calculate the value of \(\sum_
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摘要：题目 求 \(\sum\limits^n_{i=1}{\sum\limits^n_{J=1}{f(ij)}}\) $f(x)$为x的约数个数 题解 题解 #include <iostream> #include <algorithm> #include <cstdio> #include <cstr
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摘要：题目 求 \(A=\sum\limits^N_{i=1}{\mu(i^2)}\) \(B=\sum\limits^N_{i=1}{\varphi(i^2)}\) 题解 易知，\(A=1\)。 由于$\varphi(i^2)=i\varphi(i)$，\(B=\sum\limits^N_{i=1}{i
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摘要：题目 对于正整数n，定义f(n)为n所含质因子的最大幂指数。例如f(12250)=f(21 * 53 * 72)=3, f(10007)=1, f(1)=0。 给定正整数a,b，求$\sum\limits_{i=1}{a}{\sum\limits_{j=1}^{b}{f(\gcd(i,j))}}$。
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摘要：题目 给定n（以唯一分解的形式给出）和d，求[1, n]中与n互质的数的d次方和。 结果模1e9+7。 题解 由于n非常大，是以质数幂次方给出。因此应该是要整出一个积性函数，然后拆开求解。 推式子...... \(\sum\limits_{i=1}^n{i^d[\gcd(i, n)=1]}\) \(
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摘要：题目 求$\sum\limits^{n}{i=1}\sum\limits^{m}{j=1}{lcm(i, j)}$ 答案模100000009输出 题解 注意100000009是1e8级别，而且不是质数，不要想逆元之类的东西。 老老实实推式子，一步一步小心不要出错。注意在提出项时可能要平方之类的。 \
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摘要：题目 小 X 自幼就很喜欢数。但奇怪的是，他十分讨厌完全平方数。他觉得这些 数看起来很令人难受。由此，他也讨厌所有是完全平方数的正整数倍的数。然而 这丝毫不影响他对其他数的热爱。 这天是小X的生日，小 W 想送一个数给他作为生日礼物。当然他不能送一 个小X讨厌的数。他列出了所有小X不讨厌的数，然后选
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摘要：题目 有一张 n×m 的数表，其第 i 行第 j 列（1 ⇐ i ⇐ n, 1 ⇐ j ⇐ m）的数值为 能同时整除 i 和 j 的所有自然数之和。给定 a , 计算数表中不大于 a 的数之和。 题解 先不考虑不大于a这一限制条件。 令$f(x)$为x的约数和，那么数表(i,j)的值即为$f(\gc
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摘要：bzoj2820 - YY的GCD （莫比乌斯函数，筛法，数论分块） 题目 给定N, M,求1<=x<=N, 1<=y<=M且gcd(x, y)为质数的(x, y)有多少对（多组输入） 题解 前置题目： Problem b \(\sum\limits_p{\sum\limits^n_{i=1}{\s
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摘要：题目 Fibonacci数列是这样一个数列：F1 = 1， F2 = 1， F3 = 2 . . .Fi = Fi-1 + Fi-2 (当 i >= 3) 对于某一个Fibonacci数项Fi，有多少个Fj能够整除Fi (i可以等于j)；所有j的平方之和是多少。 题解 Fibonacci数列有许多性
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摘要：Description 题目大意： 高效计算函数H(n)的值。 long long H( int n ) { long long res = 0; for( int i = 1; i <= n; i++ ) res = res + n / i; return res; } 思路 有个叫做数论分块的东
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摘要：Description 题目大意：就是求$\sum_{i=1}{n}{\sum_{j=i}{n}{[lcm(i, j) == n]}}$的结果。 思路 网上有篇博客对这题解释得非常好，记录一下。 看到这个式子，就想到应该和n的因子有关。 这里有一个结论 假设 \(n = p_1^{k_1} \cdo
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