算法-回溯算法思想

算法-回溯算法思想

1. 回溯算法的基本概述

什么是回溯算法？回溯算法，本质上就是

回溯 = 递归 + 状态恢复 + 剪枝

它是一种暴力搜索的优化形式，通过“尝试 -> 撤销”来穷举所有可能解，并在过程中剪枝无效分枝

2. 回溯适用的算法题目

场景	典型关键词	示例题目
组合/子集/排列	“所有可能的组合”、“返回所有子集”、“全排列”	78. Subsets, 46. Permutations
路径搜索	“是否存在路径”、“从起点到终点”、“相邻单元格”	79. Word Search, 212. Word Search II
约束满足问题	“和为 target”、“不重复使用”、“每个元素最多用一次”	39. Combination Sum, 40. Combination Sum II
构造类问题	“生成所有有效括号”、“解数独”、“N皇后”	22. Generate Parentheses, 51. N-Queens

核心标志：

• 需要枚举所有的可行解
• 解具有 阶段性决策结构
• 不能重复使用状态（需标记+恢复）
• 有明确的终止条件

3. 回溯算法的五大要素（分析 Checklist）

在遇到回溯算法题目时，首先要分析如下的5个问题：

要素	问题	示例（Combination Sum）
1. 路径（Path）	当前已经做出的选择是什么？	已选的数字列表 path
2. 选择列表（Choices）	当前可以做哪些选择？	candidates[i]（从 index 开始）
3. 结束条件（Base Case）	什么时候算找到一个解？	target == 0
4. 约束条件（Constraints）	什么选择是非法的？	target < 0 或重复组合
5. 状态管理（State）	如何避免重复使用？如何恢复？	path.add() / path.remove()；排序+同层去重

4. 通用算法模板

4.1 存在性问题(返回boolean)

boolean backtrack(状态，参数...) {
  if (满足结束条件) return true;
  if (不合法) return false;
  
  for (每个选择 in 选择列表) {
    if (backtrack(新状态)) return true;
  }
  
  // 不满足条件，恢复状态
  return false;
}

4.2 收集所有解（返回 List<List<...>>）

void backtrack(List<解> res, 路径 path, int startIndex, ...) {
  if (满足结束条件) {
    res.add(new ArrayList<解>(path));
    return;
  }
  
  if (不合法) {
    return;
  }
  
  for (int i = startIndex; i < 选择总数; i++) {
    // 可选】剪枝：跳过无效或重复选择
    if(需要跳过) {
      continue;
    }
    
    path.add(选择[i]);
    backtrack(res, path, i/i+1, ...);	// 如果题目要求选课选择重复的，从i开始;如果要求不允许重复，则从 i+1 开始进行递归
    path.remove(path.size() - 1);	// 不符合条件进行回溯时，移除的是最近一次新添加入的元素，也就是撤销最近一次的选择
  }
}

5. 去重的一些核心技巧（重点！）

场景：数组包含重复元素，但是解不能重复

正确的做法是：

• 先排序：Arrays.sort(nums)

• 在 for 循环中判断：

  for(参数) {
   if(i > startIndex && nums[i] == nums[i - 1]) {
     continue;	// 当前遍历的索引位置元素不是当前遍历的开头元素，并且和上一个元素的值相同，则跳过当前元素的处理
   }
  }
  

一些比较没有意义的做法

• 用 Set 存结果再转 List，这种做法没有任何意义！
• 在递归开头判断是否重复，也没有意义，因为这样无法阻止无效递归

💡 为什么 i > startIndex？

表示当前不是这一层的第一个选择。如果是第一个（i == startIndex），即使和前面相同，也是新路径的开始，应保留。

6. 一些性能优化的小技巧

技巧	说明
提前排序	便于剪枝和去重
剪枝	如 if (nums[i] > target) break;（排序后有效）
使用 StringBuilder / LinkedList	减少字符串/列表操作开销
避免深拷贝过大对象	只在必要时复制路径

7. 总结：回溯解题四步法

1. 确定递归函数参数：路径、起始位置、目标状态等
2. 写终止条件：何时将路径加入结果？
3. 写 for 循环：遍历当前可选集合
4. 做选择 → 递归 → 撤销选择

• 子集/组合问题：用 startIndex 控制起点
• 排列问题：用 used[] 标记是否使用
• 网格问题：用原地标记（如 #）防重复
• 有重复元素：先排序，再同层去重