素数筛法

素数筛法

埃式筛

思想

基本思想 ：从2开始，将每个质数的倍数都标记成合数，以达到筛选素数的目的。

代码

const int maxn=100000005;
int prime[maxn],pnum=0;
bool p[maxn]={0};
int findprime(int n){
	for(int i=2;i<=n;i++)
	{
		if(p[i]==false){
			prime[pnum++]=i;
			for(int j=i*i;j<=n;j+=i){
				p[j]=true;
			}
		}
	}
} 

缺陷

对于一个合数，有可能被筛多次。例如 30 = 2 * 15 = 3 * 10 = 5*6……

思考

那么如何确保每个合数只被筛选一次呢？我们只要用它的最小质因子来筛选即可，这便是欧拉筛法。

欧拉筛

思想

基本思想 ：在埃氏筛法的基础上，让每个合数只被它的最小质因子筛选一次，以达到不重复的目的。

代码

const int maxn=1000005;
int prime[maxn]={0},pnum=0;
bool a[maxn]={0};
void findprime(){
	pnum=0;
	for(int i=2;i<maxn;i++)
	{
		if(a[i]==0)
		{
			prime[pnum++]=i;
		}
		for(int j=0;j<pnum&&i*prime[j]<maxn;j++)
		{
			a[i*prime[j]]=true;
			if(i%prime[j]==0)
			{
				break;
			}
		}
	}
}

详解

将i的（素数）倍数都变为true，如果i能被已知素数整除，则break（因为下一个素数肯定能整除i，比如6能被2整除，也能被3整除，所以在被2整除后break），如果a[i]==0直接放入素数，每个i都需要经过第二层for循环。

• 2是素数
  • 4（2*2）不是素数
• 3是素数
  • 6（2*3）不是素数
  • 9（9*3）不是素数
• 4不是素数
  • 8（4*2）不是素数（brek）
    ......