The Coding In OI

Prufer Code

Cayley定理： 对于一个 \(n\) 阶有标号完全图 \(K_n\)，其有 \(n ^ {n - 2}\) 棵生成树。即 \(n\) 个结点有标号的无根树的数目为 \(n ^ {n - 2}\)。

由该定理可知，任意一棵 \(n\) 个结点有标号的无根树应与一个序列 \(P\) 对应，且该序列有 \(n - 2\) 项，\(P_i \in \{1, 2, \cdots , n\}\)。该序列称为 Prufer 序列，也称作 Prufer 编码。

对于一棵 \(n\) 个结点有标号的无根树 \(T\)，其 Prufer 序列可以按如下方法构造：每次从 \(T\) 中移除当前标号最小的叶子，直到 \(T\) 中只剩下两个结点。那么第 \(i\) 次移除的叶子的相邻点的标号即为 Prufer 序列的第 \(i\) 项。

同理，对于一个 Prufer 序列 \(P\)，可以按照如下方法还原出其表示的无根树 \(T\)：设点集 \(V = \{1, 2, \cdots, n\}\)，每次取出 \(V\) 中最小的未在当前 Prufer 序列中出现的元素 \(v\)，令当前 \(P\) 的首项为 \(u\)，那么添加边 \((u, v)\)，然后将这两个元素分别删除。最后 \(V\) 中剩下两个结点，给它们连边即可得到无根树 \(T\)。

显而易见，Prufer 序列是无根树的一个双射，两者是一一对应的关系。

由 Prufer 序列的构造过程我们可以得到如下推论：

推论一： Prufer 序列中结点 \(i\) 出现的次数即为结点 \(i\) 的度数减一。

推论二： \(n\) 个结点的度数依次为 \(d_1, d_2, \cdots, d_n\) 的无根树的数目为：

\[\frac{(n - 2)!}{\prod\limits_{i = 1}^{n} (d_i - 1)!} \]