FFT学习笔记
FFT学习笔记
FFT，快速傅里叶变换，是一种在\(O(n\log n)\)的时间内计算两个多项式乘积的算法。
前置芝士
复数
没学过的请自行翻阅高中数学选修2-2。
多项式的表示
给出一个多项式 $f(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + ... + a_nx^n $
系数表示法
就是用一个系数序列来表达多项式，显然系数序列和多项式是一一对应的。
点值表示法
点值表示法是把这个多项式看成一个函数，从上面选取\(n+1\)个点，从而利用这 \(n+1\) 个点来唯一的表示这个函数。
正如解一个 \(n\) 元方程组需要 \(n+1\) 个方程一样，这 \(n+1\) 个点的序列显然也和多项式一一对应。
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这两种表示法各有优劣，系数表示法可以在 \(O(n)\) 的时间内求出一个 \(f(x_0)\) ，但计算多项式乘法时却需要 \(O(n^2)\) 的时间，点值表示法则正好相反。所以FFT的目的就是利用一些特殊的点，把复杂度均摊一下，变成 \(O(n\log n)\)
单位复根
这是FFT降低复杂度的关键，因为单位复根有极为优秀的性质。
定义：
对于方程 \(x^n = 1\) 的复数解，称之为 \(n\) 次单位复根，显然这样的单位复根有 \(n\) 个。
其中一个可以表示为 $ \omega_n = e^{\frac{2\pi i}{n}} $ 那么对于每一个单位复根，有$$ \omega_n^k = e^{\frac{2\pi i k}{n}} $$
而根据欧拉公式，又有：
几何意义：
在一个单位圆中，把单位圆等分，几个等分点的坐标就是单位复根的向量。
这个图就可以生动形象表示出来了。
单位根的性质
性质1：\(\omega_n^0 = 1\)
这十分显然，看图就知道了。
性质2：\(\omega_n^k = \omega_{2n}^{2k}\)
可以根据公式证明，或者几何意义也可直观理解。
性质3：\(\omega_n^{k+\frac{n}{2}}=-\omega_n^k\)
仍然是代入公式证明即可。
这三个性质就是FFT降低复杂度的关键了。
快速傅里叶变换
离散傅里叶变换(DFT)
对于一个多项式 $f(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + ... + a_{n-1}x^{n-1} $
为了便于操作，设 \(n = 2^k\)$ ，不足补0即可。
然后按照奇偶项分类，奇数项提出一个 \(x\)：
设两个新的多项式：
那么就可以得到：
设\(DFT(f(x))\)表示对 \(f(x)\) 进行DFT操作后得到的点值表示，则:
重要的步骤出现了！这时我们依次代入单位复根：
同理：
我们发现，只要我们求出了\(DFT(g(\omega_{\frac{n}{2}}^{k}))\) 和 \(DFT(h(\omega_{\frac{n}{2}}^{k}))\)，就可以求出 \(DFT(f(\omega_n^k))\) 和 \(DFT(f(\omega_n^{k+\frac{n}{2}}))\)，而这是一个问题规模不断变小的子问题，直接递归就行了。
复杂度分析：
代入操作要进行 \(n\) 次，花费 \(O(n)\) 的时间，设单次操作复杂度为 \(T(n)\)，则有：
根据主定理，可得复杂度为 \(O(n \log n)\)
离散傅里叶逆变换(IDFT)
证明过程又臭又长，这里就不写了qwq。(参考链接)
只介绍算法：
对于一个点值序列：\(f(x) = \{(x_0,y_0),(x_1,y_1),(x_2,y_2),...,(x_n,y_n)\}\)
进行的操作方法和DFT类似，只是每次代入\(\frac{1}{\omega_n^k}\)即可。
化简一下：
\(\frac{1}{\omega_n^k} = e^{-\frac{2\pi ik}{n}} = cos(\frac{2 \pi k}{n}) + i · sin(-\frac{2 \pi k}{n})\)
我们注意到这个值和DFT代入的值仅仅只有符号上的区别，那么不妨定义一个变量\(op\)，当 \(op\) 取 \(1\) 时进行 DFT操作，取 \(-1\) 就是IDFT操作。
代码实现：
void fft(comp *f,int n,int op) // op=1 -> DFT,op=-1 -> IDFT
{
if(n == 1) return;//递归边界
for(int i = 0;i < n;++i) tmp[i] = f[i];
for(int i = 0;i < n;++i)//奇偶分别处理
{
if(i & 1) f[i / 2 + n / 2] = tmp[i];
else f[i / 2] = tmp[i];
}
comp *g = f,*h = f + n / 2;
fft(g,n / 2,op);fft(h,n / 2,op);//递归
comp w(cos(2 * pi / n),sin(2 * pi * op / n)),x(1,0);//单位根
for(int k = 0;k < n / 2;++k)
{
tmp[k] = g[k] + x * h[k];
tmp[k + n / 2] = g[k] - x * h[k];
x *= w;
}
for(int i = 0;i < n;++i) f[i] = tmp[i];
return;
}
好的最朴素的FFT就讲完了。
FFT优化
咕咕咕咕咕咕咕咕咕
