【文化课】运动学

定义

我们默认，下面的定义都基于经典力学，并加以描述。

• 路程 \(s\) 标量，描述物体运动轨迹长度。数值上等于 \(\int_{t_0}^t \lvert\textbf{v}\rvert\,\mathrm{d}t\)。
• 时间 \(t\) 标量，物体运动发生的描述。
• 速度 \(\textbf{v}\) 矢量，衡量物体运动快慢。
  • 瞬时速度 \(\textbf{v}(t)\) 数值上等于 \(\cfrac{\mathrm{d}\textbf{x}(t)}{\mathrm{d}t}\) 即 \(\textbf{v}(t_0) + \int_{t_0}^t \textbf{a}\,\mathrm{d}t\)。
  • 平均速度 \(\overline{\textbf{v}}(t)\) 数值上等于 \(\cfrac{\Delta\textbf{x}(t)}{\Delta t}\)。
• 速率 \(v\) 标量，速度的大小。
  • 瞬时速率 \(v(t)\) 数值上等于 \(\cfrac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}\) 即 \(\lvert \cfrac{\mathrm{d}\textbf{x}(t)}{\mathrm{d}t} \rvert\) 即 \(\lvert\textbf{v}(t)\rvert\)。
  • 平均速率 \(\overline{v}(t)\) 数值上等于 \(\cfrac{\Delta s}{\Delta t}\)。
• 位移 \(\textbf{x}(t)\) 矢量，描述物体运动变化量。数值上等于 \(\int_{t_0}^t \textbf{v}\,\mathrm{d}t\) 和 \(\textbf{x}(t_0) + \int_{t_0}^t \textbf{a}\,\mathrm{d} t\)。
• 加速度 \(\textbf{a}\) 矢量，速度的变化率。
  • 瞬时加速度 \(\textbf{a}(t)\) 数值上等于 \(\cfrac{\mathrm{d}\textbf{v}(t)}{\mathrm{d}t}\) 即 \(\cfrac{\mathrm{d}^{2}\textbf{x}(t)}{\mathrm{d}t^{2}}\)。
  • 平均加速度 \(\overline{\textbf{a}}(t)\) 数值上等于 \(\cfrac{\Delta\textbf{v}(t)}{\Delta t}\) 即 \(\cfrac{\Delta \textbf{x}(t)}{(\Delta t)^2}\)。（位移差公式）

匀变速直线运动

匀变速直线运动中，\(\textbf{a}(t) = \overline{\textbf{a}}(t)\) 恒成立。（匀变速的性质）

下面我们定义物体在 \(t\) 秒时的速度 \(v_t\)，时间差 \(\Delta t = t - t_0\)（其中 \(t > t_0\)）。默认 \(v_0 = 0\) 且 \(x_0 = 0\)。

注意初速度 \(v_0\) 不一定恒为 \(0\)。

速度公式

已知物体在第 \(t_0\) 秒时的速度 \(v_{t_0}\) 和加速度 \(a\)，则物体在第 \(t\) 秒时的速度为

\[v_t = v_{t_0} + a\Delta t \]

特别地，在 \(t_0=0\) 时，公式化为 \(v_t = v_0 + at\)。

中时中位速度公式

中时速度 物体在第 \(\cfrac{t + t_0}{2}\) 秒时的速度为 \(\cfrac{v_{t_0} + v_t}{2}\)，即 \(t_0 \sim t\) 时间内的平均速度。（均速法）

中位速度 若物体的位移为 \(x\)，则物体位移 \(\cfrac{x}{2}\) 时的速度为 \(\sqrt{\cfrac{v_{1}^2 + v_{2}^2}{2}}\)。

位移公式

已知物体在第 \(t_0\) 秒时的速度 \(v_{t_0}\) 和加速度 \(a\)，则物体从第 \(t_0\) 秒到第 \(t\) 秒的位移为

\[x = \int_{t_0}^{t} \textbf{v}\,\mathrm{d}t = \cfrac{v_{t_0} + v_t}{2}\Delta t=v_{t_0}\Delta t+ \cfrac{1}{2}a (\Delta t)^2 \]

特别地，在 \(t_0=0\) 时，公式化为 \(x = \cfrac{v_0 + v_t}{2} t= v_{0}t + \cfrac{1}{2}at^2\)。

无时间公式

联立物体第 \(t_0\) 秒时的速度 \(v_{t_0}\)，第 \(t\) 秒的速度 \(v_t\)，加速度 \(a\) ，物体从第 \(t_0\) 秒到第 \(t\) 秒的位移 \(x\)，有

\[v_t^2 -v_{t_0}^2 = 2ax \]

特别地，在 \(t_0 = 0\) 时，公式化为 \(v_t^2 - v_0^2 = 2ax\)。

重要思想

等效法

• 加速度为 \(a\) 的物体做匀减速直线运动至速度为 \(0\)，最后 \(t\) 秒的位移，等效于初速度为 \(0\)，加速度为 \(-a\) 的物体做匀加速直线运动，前 \(t\) 秒的位移。

\(\text{0v0}\) 问题

初速度为 \(0\) 的物体做匀加速直线运动，至最大速度 \(v_{\max}\) 止，做匀减速直线运动直至速度为 \(0\)。

• 时间、位移、加速度 \(\cfrac{t_1}{t_2} = \cfrac{x_1}{x_2} = \cfrac{a_2}{a_1}\)。
• 最大速度 \(v_{\max} = at = \cfrac{2x}{t}\)。
• 平均速度 \(\overline{v} = \frac{1}{2}v_{\max} = \cfrac{\sum x}{\sum t}\)。

均速法

对于一类给出位移与用时求加速度的题目，根据匀加速的性质和中时速度与平均速度的关系解决问题。

• 将 \(0\) 时刻与 \(t_1\) 时刻的速度联系位移 \(x_1\)，求出 \(0\sim t_1\) 的平均速度 \(\overline{t_1} = \cfrac{x_1}{t_1}\)，即 \(\cfrac{t_1}{2}\) 时刻的瞬时速度。
• 将 \(t_1\) 时刻与 \(t_2\) 时刻的速度联系位移 \(x_2\)，求出 \(t_1\sim t_2\) 的平均速度 \(\overline{t_2} = \cfrac{x_2}{t_3 - t_2}\)，即 \(\cfrac{t_1+t_2}{2}\) 时刻的瞬时速度。
• 由于 \(0\sim t_1\) 和 \(t_1\sim t_2\) 的中时速度和时刻已知，根据 \(a = \cfrac{\Delta v}{\Delta t} = \cfrac{2(\overline{v}_2-\overline{v}_1)}{t_2}\) 即可解决。

更新日志

• 26/8/11 重新发布