[Tarjan系列] Tarjan算法与有向图的SCC

前面的文章介绍了如何用Tarjan算法计算无向图中的e-DCC和v-DCC以及如何缩点。

本篇文章资料参考：李煜东《算法竞赛进阶指南》

这一篇我们讲如何用Tarjan算法求有向图的SCC( 强连通分量 )已经如何缩点。

给定一张有向图，若对于图中任意两个节点x和y，

既有x到y的路径，又有y到x的路径，则该有向图是一张“强连通图”。

有向图的极大连通子图被称为“强连通分量”，即SCC。

一个环一定是强连通图。如果既有x到y的路径，又有y到x的路径，那么x和y就一定在一个环中。

这就是Tarjan算法的原理：对于每个点x，找到与它一起能构成环的所有点。

下面介绍有向图中的三种边(x,y)：

1. 树枝边：搜索树中x是y的父节点

2. 前向边：搜索树中x是y的祖先节点

3. 后向边：搜索树中y是x的祖先节点

4. 横叉边：除了以上三种情况外的边，满足dfn[y]<dfn[x]

这里只给出简单定义，不再赘述。

我们可以发现，用Tarjan算法求SCC时，后向边(x,y)可以和搜索树上从y到x的路径构成一个环。

除后向边外，通过横叉边也可能找到一条从y出发能回到x的祖先节点的路径。

那么为了找到通过横叉边和后向边构成的环，Tarjan算法在dfs的过程中维护一个栈，当访问到节点x时，栈中需要保存以下两类节点：

1. 搜索树上x的祖先节点，记为集合anc(x)。设y∈anc(x)，若存在一条后向边(x,y)，则(x,y)和y到x之间的路径一起形成环。

2. 已经访问过，并且存在一条路径到达anc(x)的节点。

设z时一个这样的点，从z出发存在一条路径到达y∈anc(x)。若存在横叉边(x,y)，则(x,z)、z到y的路径、y到x的路径形成一个环。

综上，栈中的节点就是能从x出发点的“后向边”和“横叉边”形成环的节点。

至此，我们引入追溯值low[x]的概念，有向图的Tarjan算法里面的定义和无向图是不一样的。

还是设subtree(x)表示以x为根的子树。x的追溯值low[x]定义为满足一下条件的节点的最小dfn：

1. 该点在栈中 2. 存在一条从subtree(x)出发的有向边，以该点为终点

根据以上定义，Tarjan算法根据以下步骤计算low[x]：

1. 当节点x第一次被访问时，将x入栈，初始化low[x]=dfn[x]

2. 扫描从头x出发的每条边(x,y)，若y没被访问过，则说明(x,y)时树枝边，递归访问y，从y回溯之后，令low[x]=min(low[x],low[y])，若y被访问过且y在栈中，令low[y]=min(low[x],dfn[y])

3. 从x回溯之前，判断是否有low[x]=dfn[x]，若成立，则不断从栈中弹出节点直至x出栈。

SCC的判定法则：

在上面的计算步骤3中，从栈中从x到栈顶的所有节点构成一个SCC。

少废话，上代码！

好der~

#include<bits/stdc++.h>
#define N 1000010
using namespace std;
inline int read(){
    int data=0,w=1;char ch=0;
    while(ch!='-' && (ch<'0'||ch>'9'))ch=getchar();
    if(ch=='-')w=-1,ch=getchar();
    while(ch>='0' && ch<='9')data=data*10+ch-'0',ch=getchar();
    return data*w;
}
struct Edge{
    int nxt,to;
    #define nxt(x) e[x].nxt
    #define to(x) e[x].to
}e[N<<1];
int head[N],tot=1;
inline void addedge(int f,int t){
    nxt(++tot)=head[f];to(tot)=t;head[f]=tot;
}
int dfn[N],low[N],stk[N],ins[N],c[N];
vector<int> scc[N];
int n,m,cnt,top,num;
void tarjan(int x){
    dfn[x]=low[x]=++cnt;
    stk[++top]=x,ins[x]=1;
    for(int i=head[x];i;i=nxt(i)){
        int y=to(i);
        if(!dfn[y]){
            tarjan(y);
            low[x]=min(low[x],low[y]);//搜索树上的点
        }else if(ins[y])
            low[x]=min(low[x],dfn[y]);//y在栈中且y被访问过了
　　　}
　　if(dfn[x]==low[x]){
        num++;int z;//新的一个SCC
        do{
            z=stk[top--],ins[z]=0;//弹出栈顶元素z
            c[z]=num,scc[num].push_back(z);//z插入存第num个SCC的vector里
        }while(z!=x);//直到x被弹出栈
    }
} 
int main(){
    n=read();m=read();
    for(int i=1;i<=m;i++){
        int x=read(),y=read();
        addedge(x,y);
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
        if(!dfn[i])tarjan(i);
    for(int i=1;i<=num;i++){
        printf("%d:",i);
        for(int j=0;j<scc[i].size();j++){
            printf(" %d",scc[i][j]);
        }
        putchar(10);
    }
    return 0;
}

SCC的缩点就非常简单了，上面我们已经用c[x]储存了每个点所在的SCC的编号，那我们直接类似e-DCC的缩点，把每个SCC缩成一个点，若c[x]≠c[y]，我们就在编号为c[x]和c[y]的SCC中连一条边就可以得到一个有向无环图( DAG )。

代码真的非常简单，甚至不需要再跑一遍dfs。

给出代码：

for(int x=1;x<=n;x++)
    for(int i=head[x];i;i=nxt(i)){
        int y=to(i);
        if(c[x]==c[y])continue;
        addedge_c(c[x],c[y]);
        }
//够简单了吧...

整个程序的代码我就不贴出来了，建新图和我前面e-DCC缩点的博客完全一致。

下一篇讲点数学，别忘了来听课。