E：Johnny and Grandmaster

Johnny and Grandmaster

思路

这道题就是把一组数分成两个集合，使这两个集合的对p的次方的和的差的最小值，也就是求\(sum1 - sum2\)得最小值， 由于结果过大我们可能需要对结果取模。那么这题得关键在于我们应该如何分配这两个集合，也就是如何得到最优的\(sum1 - sum2\)的值。

我们先把给定的数组从大到小排序，我们一定可以得到\(p ^ {a[1]} = p ^ {a[2]} + p ^ {a[3]} + p ^ {a[4]} …… + p ^ {a[x]}\)，这一点是显然成立的。

我们先分配最大的数到集合\(1\)中，接下来我们再分配其他的数到集合\(2\)，中，直到\(sum1 == sum2\)，我们再重新分配一个数到集合\(1\)中，重复如此操作我们就可以的到最小值。

这题的关键就在于我们如何判断这两个集合中的数和是相等的，容易想到\(sum1 == sum2 -> sum1 - sum2 == 0\)，于是我们好像可以利用这个点来完美的实现这个算法，但是很遗憾，wa在了test7，这里可能存在一个极大的误差，当我们的刚好是模数的时候，显然这里就错了，所以我们必须选定一个方法来避免这个错误，于是就有了，双模数判定差值是否为0。

代码

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

typedef long long ll;

inline ll read() {
    ll f = 1, x = 0;
    char c = getchar();
    while(c < '0' || c > '9') {
        if(c == '-')    f = -1;
        c = getchar();
    }
    while(c >= '0' && c <= '9') {
        x = (x << 3) + (x << 1) + (c ^ 48);
        c = getchar();
    }
    return f * x;
}

const int mod = 1e9 + 7,  MOD = 1e9 + 3;//用两个模数来判断是否为零，
const int N = 1e6 + 10;

ll a[N];

ll qpow(ll a, ll n, ll mod) {
    ll ans = 1;
    while(n) {
        if(n & 1)   ans = (ans * a) % mod;
        a = (a * a) % mod;
        n >>= 1;
    }
    return ans;
}

int main() {
    // freopen("in.txt", "r", stdin);
    int t = read();
    while(t--) {
        int n = read(); ll p = read();
        for(int i = 1; i <= n; i++)
            a[i] = read();
        sort(a + 1, a + 1 + n, greater<ll> ());
        char *str = "okkkk";
        ll ans1 = 0, ans2 = 0;
        for(int i = 1; i <= n; i++) {
            if(!ans1 && !ans2) {//当这两个数同时为零的时候代表两个集合的差值为零。
                ans1 = (ans1 + qpow(p, a[i], mod)) % mod;
                ans2 = (ans2 + qpow(p, a[i], MOD)) % MOD;
            }
            else {
                ans1 = (ans1 + mod - qpow(p, a[i], mod)) % mod;
                ans2 = (ans2 + MOD - qpow(p, a[i], MOD)) % MOD;
            }
        }
        printf("%lld\n", ans1);
    }
    return 0;
}