高精度
高精度
因为c++没有大数类，最大的类型是 UNSIGNED LONG LONG 数值范围只有 \([0,2^{64}-1]\)，没法满足需要，int128似乎不是正统语言中的内容，略。
所以高精度就是解决大数运算的技巧，把数组按位存储，一般从低位到高位。进制无所谓，但是常用10，为了节约复杂度有时会使用压位，即设 \(10^k\) 进制，可以在复杂度优化一个 \((压的位数)\)，但是会遇到运算溢出的问题。，一般使用结构体，让代码更简洁。还要重载运算符，也是避免大量函数影响代码美观。
接下来讨论运算：
\(n,m\) 为两个高精数字位数，n为运算符左边的数，m为运算符右边的数
\(p\) 为低精数字，在运算符右边
加: \(O(n+m)\)
减：\(O(n+m)\)
朴素乘: \(O(nm)\) NTT乘：\(O((n+m)\log(n+m))\)
低精乘: \(O(n)\)
低精除：\(O(n)\)
低精取模：\(O(n)\)
以下是基本模板
const int MAXL=400;
struct Number{
long long a[MAXL+10];
Number(){memset(a,0,sizeof a);}
Number(int x){
for(int i=1;i<=MAXL;++i){
a[i] = x%10;
x /= 10;
}
}
Number operator + (const Number B)const{
Number C;
for(int i=1;i<=MAXL;++i){
C.a[i] += a[i]+B.a[i];
if(C.a[i]>=10){
C.a[i+1] += C.a[i]/10;
C.a[i] %= 10;
}
}
return C;
}
Number operator - (const Number B)const{
Number C;
for(int i=1;i<=MAXL;++i){
C.a[i] += a[i]-B.a[i];
C.a[i+1] -= (-C.a[i]+9)/10;
C.a[i] += (-C.a[i]+9)/10*10;
}
return C;
}
Number operator * (const long long x)const{
Number C;
for(int i=1;i<=MAXL;++i){
C.a[i] += a[i]*x;
if(C.a[i]>=10){
C.a[i+1] += C.a[i]/10;
C.a[i] %= 10;
}
}
return C;
}
Number operator / (const long long x)const{
Number C;
long long tmp=0;
for(int i=MAXL;i>=0;--i){
C.a[i] = (tmp*10+a[i])/x;
tmp = (tmp*10+a[i])%x;
}
return C;
}
Number operator * (const Number B)const{
Number C;
for(int i=1;i<=MAXL/2;++i)
for(int j=1;j<=MAXL/2;++j){
C.a[i+j-1]+=a[i]*B.a[j];
C.a[i+j]+=C.a[i+j-1]/10;
C.a[i+j-1]%=10;
}
for(int i=1;i<=MAXL;++i){
if(C.a[i]>=10){
C.a[i+1] += C.a[i]/10;
C.a[i] %= 10;
}
}
return C;
}
void print(){
int i=MAXL;
while(i>=1&&a[i]==0)--i;//要判边界
if(i<1)putchar('0');
for(;i>=1;--i){
printf("%c",'0'+a[i]);
}
putchar('\n');
}
};
压位高精（位数任意）
const int MAXL=50;
const int Base=1000000000;
struct Number{
long long a[MAXL+10];
Number(){memset(a,0,sizeof a);}
Number(int x){
memset(a,0,sizeof a);
for(int i=1;x&&i<=MAXL;++i){
a[i] = x%Base;
x /= Base;
}
}
Number operator + (const Number B)const{
Number C;
for(int i=1;i<=MAXL;++i){
C.a[i] += a[i]+B.a[i];
C.a[i+1] += C.a[i]/Base;
C.a[i] -= C.a[i]/Base*Base;
}
return C;
}
Number operator - (const Number B)const{
Number C;
for(int i=1;i<=MAXL;++i){
C.a[i] += a[i]-B.a[i];
C.a[i+1] -= (-C.a[i]+Base-1)/Base;
C.a[i] += (-C.a[i]+Base-1)/Base*Base;
}
return C;
}
Number operator * (const long long x)const{
Number C;
for(int i=1;i<=MAXL;++i){
C.a[i] += a[i]*x;
C.a[i+1] += C.a[i]/Base;
C.a[i] -= C.a[i]/Base*Base;
}
return C;
}
Number operator / (const long long x)const{
Number C;
long long tmp=0;
for(int i=MAXL;i>=0;--i){
C.a[i] = (tmp*Base+a[i])/x;
tmp = (tmp*Base+a[i])%x;
}
return C;
}
Number operator * (const Number B)const{
Number C;
for(int i=1;i<=MAXL;++i)
for(int j=1;j<=MAXL;++j)
if(i+j-1<=MAXL){
C.a[i+j-1]+=a[i]*B.a[j];
C.a[i+j]+=C.a[i+j-1]/Base;
C.a[i+j-1]-=C.a[i+j-1]/Base*Base;
}
for(int i=1;i<=MAXL;++i){
C.a[i+1] += C.a[i]/Base;
C.a[i] -= C.a[i]/Base*Base;
}
return C;
}
void print(){
int i=MAXL;
while(i>=1&&a[i]==0)--i;//要判边界
if(i<1){
putchar('0');
return;
}
printf("%lld",a[i]);
for(--i;i>=1;--i){
printf("%09lld",a[i]);
}
}
};
vector + NTT 版本
const int Base=10;
typedef long long ll;
int r[1<<19];
int G=3,Gi=332748118;
void ntt(vector<ll> &a,int s,int INTT){
for(int i=0;i<s;++i)
if(i<r[i])
swap(a[i],a[r[i]]);
for(int len=2;len<=s;len<<=1){
ll gn=qpow(INTT==-1?Gi:G,(mod-1)/len,mod);
int k=len/2;
for(int i=0;i<s;i+=len){
ll g=1;
for(int j=0;j<k;++j,g=g*gn%mod){
ll tmp=a[i+j+k]*g%mod;
a[i+j+k]=(a[i+j]-tmp+mod)%mod;
a[i+j]=(a[i+j]+tmp)%mod;
}
}
}
if(INTT==-1){
ll inv=qpow(s,mod-2,mod);
for(int i=0;i<s;++i)a[i]=a[i]*inv%mod;
}
}
struct Number{
vector<ll> a;
Number(){
a.clear();
}
Number(int n){
while(n){
a.emplace_back(n%Base);
n/=Base;
}
}
void read(){
string s;
cin>>s;
reverse(s.begin(),s.end());
for(int i=0;i<(int)s.size();i+=1){
int t=0;
for(int j=min((int)s.size(),i+1)-1;j>=i;--j)t=t*10+s[j]-'0';
a.emplace_back(t);
}
}
Number operator + (int b){
Number C;
C.a=a;
C.a[0]+=b;
for(int i=0;i<(int)a.size();++i){
if(C.a[i]>=Base){
if(i+1<(int)a.size())C.a[i+1]+=C.a[i]/Base;
else C.a.emplace_back(C.a[i]/Base);
C.a[i]%=Base;
}else break;
}
return C;
}
Number operator * (Number b){
int n=a.size()-1+b.a.size()-1+1;
int s=1;
while(s<n)s<<=1;
for(int i=0;i<s;++i)
r[i]=(r[i>>1]>>1)|((i&1)*(s>>1));
vector<ll> A=a,B=b.a;
A.resize(s);
B.resize(s);
ntt(A,s,1);
ntt(B,s,1);
for(int i=0;i<s;++i)A[i]=A[i]*B[i]%mod;
ntt(A,s,-1);
Number C;
C.a=A;
for(int i=0;i<C.a.size()-1;++i){
if(C.a[i]>=Base){
C.a[i+1]+=C.a[i]/Base;
C.a[i]%=Base;
}
}
while(C.a.back()==0)C.a.pop_back();
return C;
}
Number operator / (int b){
Number C;
C.a.resize(a.size(),0);
ll t=0;
for(int i=a.size()-1;i>=0;--i){
t=t*Base+a[i];
C.a[i]=t/b;
t%=b;
}
while(C.a.back()==0)C.a.pop_back();
return C;
}
void print(){
if(a.size()==0){
puts("0");
return;
}
printf("%lld",a.back());
for(int i=a.size()-2;i>=0;--i)printf("%lld",a[i]);
puts("");
}
};
浙公网安备 33010602011771号