原根&离散对数

原根&离散对数

阶

设 \(m>1\) \(\gcd(a,m)=1\) ，使 \(a^r\equiv 1(mod \ m)\) 的最小 \(r\) 是 \(a\) 对 \(m\) 的阶，记作 \(\delta_m(a)\)

定理一：设 \(m>1\)，且 \(gcd(a,m)=1\)，\(a^n\equiv1(mod \ m)\)，则 \(\delta_m(a)|n\)

定理一推论：\(\delta_m(a)|\phi(m)\)

定理二：\(gcd(a,m)=1\)，\(a^x\equiv a^y(mod \ m)\)的充要条件是 \(x\equiv y(mod \ \delta_m(a)\)

定理三：\(d\in N^+,\Large \delta_m(a^d)=\frac{\delta_m(a)}{\gcd(\delta_m(a),d)}\)

原根

设 \(m\in N^+,a \in Z,\delta_m(a)=\phi(m)\)，称 \(a\) 为模 \(m\) 的原根

定理一：一个正整数有原根的充要条件是它为 \(2,4,p^e,2p^e\)，\(p\) 为奇素数，\(e\) 为正整数

定理二：设 \(g\) 是 \(m\) 的原根，则 \(g^d\) 是 \(m\) 的原根的充要条件是 \(\gcd(d,\phi(m))=1\)；每一个有原根的正整数 \(m\) 有 \(\phi(\phi(m))\) 个原根

定理三：\(g\) 是 \(m\) 的原根，则

\[\{x|x=g^y\mod m,y\in[1,phi(m)]\}=\{x|x\leq m,gcd(x,m)=1\} \]

定理三四推论：\(\{g|g是m原根\}\subsetneqq\{x|x\leq m,gcd(x,m)=1\}\subsetneqq [1,m]\) 大小分别为 \(\phi(\phi(m)),\phi(m),m\)

定理四：\(m>1\)，\(\phi(m)\)的所有质因数 \(p_1,p_2,...,p_k\)，\(gcd(g,m)=1\)则 \(g\) 是 \(m\) 的原根的充要条件是 \({\Large g^{\frac{\phi(m)}{p_i}} \not \equiv 1}(mod \ m),i\in [1,k]\)

求法

最小正原根不超过 \(\large m^{\frac{1}{4}}\)

指标

设 \(g\) 是 \(m\) 的原根，若 \(g^r \equiv a(mod \ m)\) 则称 \(r\) 是以 \(g\) 为底 \(a\) 对 \(m\) 的指标，记作 \(ind(a)\)

性质一：\(a\equiv b(mod \ m)\leftrightarrow ind(a)\equiv ind(b)(mod \ \phi(m))\)

性质二：\(ind(a*b)\equiv ind(a)+ind(b)(mod \ \phi(m))\)

性质三：\(ind(a^n)\equiv n\times ind(a)(mod \ m)\)

指标的计算

Baby-Step,Giant-Step 算法

解决 \(a^x\equiv b(mod \ m),\gcd(a,m)=1\)的方程

因为 \(a^\phi(m)\equiv1(mod \ m)\) 所以通解的形式一定是 \(k \phi(m) + b\)

所以可以分块解决 \(O(\sqrt{m})\)

第二类指数同余方程

\(x^k\equiv b(mod \ p),p为素数\)

略