标准差

标准差（英语：Standard Deviation），数学符号σ，在概率统计中最常使用作为统计分布程度（statistical dispersion）上的测量。标准差定义为方差的算术平方根，反映组内个体间的离散程度；标准差与期望值之比为标准离差率。测量到分布程度的结果，原则上具有两种性质：

为非负数值；
与测量资料具有相同单位。

一个总量的标准差或一个随机变量的标准差，及一个子集合样品数的标准差之间，有所差别。其公式如下所列。

标准差的观念是由卡尔·皮尔逊（Karl Pearson）引入到统计中。

阐述及应用[编辑]

简单来说，标准差是一组数值自平均值分散开来的程度的一种测量观念。一个较大的标准差，代表大部分的数值和其平均值之间差异较大；一个较小的标准差，代表这些数值较接近平均值。

例如，两组数的集合{0, 5, 9, 14}和{5, 6, 8, 9}其平均值都是7，但第二个集合具有较小的标准差。

表述“相差k个标准差”，即在 $\mu \pm k\sigma$ 的样本（Sample）范围内考量。

标准差可以当作不确定性的一种测量。例如在物理科学中，做重复性测量时，测量数值集合的标准差代表这些测量的精确度。当要决定测量值是否符合预测值，测量值的标准差占有决定性重要角色：如果测量平均值与预测值相差太远（同时与标准差数值做比较），则认为测量值与预测值互相矛盾。这很容易理解，因为如果测量值都落在一定数值范围之外，可以合理推论预测值是否正确。

标准差应用于投资上，可作为量度回报稳定性的指标。标准差数值越大，代表回报远离过去平均数值，回报较不稳定故风险越高。相反，标准差数值越小，代表回报较为稳定，风险亦较小。

总体的标准差[编辑]

基本定义[编辑]

\ delta = \sqrt{\ \sum_{i=1}^N (R_i - E(R)^2)}*P_i

μ为平均值。

简易口诀：离均差平方和的平均;方均根

简化计算公式[编辑]

上述公式可以如下代换而简化：

\begin{align} \sum_{i=1}^N (X_i - \mu)^2 & = {} \sum_{i=1}^N (X_i^2 - 2 X_i\mu + \mu^2) \\ & {} = \left(\sum_{i=1}^N X_i^2\right) - \left(2 \mu \sum_{i=1}^N X_i\right) + N\mu^2 \\ & {} = \left(\sum_{i=1}^N X_i^2\right) - 2 \mu (N\mu) + N\mu^2 \\ & {} = \left(\sum_{i=1}^N X_i^2\right) - 2N\mu^2 + N\mu^2 \\ & {} = \left(\sum_{i=1}^N X_i^2\right) - N\mu^2 \end{align}

所以：

\sigma = \sqrt{\frac{1}{N} \sum_{i=1}^N (X_i - \mu)^2}

= \sqrt{\frac{1}{N} \left(\sum_{i=1}^N X_i^2\right) - \frac{1}{N}N\mu^2}

= \sqrt{ \frac{\sum_{i=1}^N X_i^2}{N} - \mu^2 }

根号里面，亦即方差（ $\sigma^2$ ）的简易口诀为：“平方的平均”减去“平均的平方”。

总体为随机变量[编辑]

一随机变量 $X$ 的标准差定义为：

\sigma = \sqrt{\operatorname{E}((X-\operatorname{E}(X))^2)} = \sqrt{\operatorname{E}(X^2) - (\operatorname{E}(X))^2}

须注意并非所有随机变量都具有标准差，因为有些随机变量不存在期望值。如果随机变量 $X$ 为 $x_1, \cdots, x_n$ 具有相同概率，则可用上述公式计算标准差。

离散随机变量的标准差[编辑]

若 $X$ 是由实数 $x_{1}, x_{2}, ..., x_{n}$ 构成的离散随机变量（英语：discrete random variable），且每个值的概率相等，则 $X$ 的标准差定义为：

\sigma = \sqrt{\frac{1}{N}\left[(x_1-\mu)^2 + (x_2-\mu)^2 + \cdots + (x_N - \mu)^2\right]}

　，其中　

\mu = \frac{1}{N} (x_1 + \cdots + x_N)

换成用 $\sum$ 来写，就成为：

\sigma = \sqrt{\frac{1}{N} \sum_{i=1}^N (x_i - \mu)^2}

　，其中　

\mu = \frac{1}{N} (x_1 + \cdots + x_N)

目前为止，与总体标准差的基本公式一致。

然而若每个 $x_i$ 可以有不同概率 $p_i$ ，则 $X$ 的标准差定义为：

\sigma = \sqrt{\sum_{i=1}^N p_i(x_i - \mu)^2}

　，其中　

\mu = \sum_{i=1}^N p_i x_i.

连续随机变量的标准差[编辑]

若 $X$ 为概率密度 $p(X)$ 的连续随机变量（英语：continuous random variable），则 $X$ 的标准差定义为：

\sigma = \sqrt{\int (x-\mu)^2 \, p(x) \, dx}

其中

\mu = \int x \, p(x) \, dx

标准差的特殊性质[编辑]

对于常数 $c$ 和随机变量 $X$ 和 $Y$ ：

\sigma(X+c)=\sigma(X)

\sigma(cX)=c\cdot\sigma(X)

\sigma(X+Y) = \sqrt{ \sigma^2(X) + \sigma^2(Y) + 2\cdot\mbox{cov} (X,Y)}

其中：

\mbox{cov}(X,Y)

表示随机变量

X

和

Y

的协方差。

样本的标准差[编辑]

在真实世界中，找到一个总体的真实的标准差是不现实的。大多数情况下，总体标准差是通过随机抽取一定量的样本并计算样本标准差估计的。

从一大组数值 $X_1, \cdots, X_N$ 当中取出一样本数值组合 $x_1, \cdots, x_n : n < N$ ，常定义其样本标准差：

s = \sqrt{\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2}

样本方差 $s^2$ 是对总体方差 $\sigma^2$ 的无偏估计。 $s$ 中分母为 $n-1$ （相较于总体 $\sigma$ 中的分母为 $n$ ），是因为 $\left( x_i - \bar{x} \right)$ 的自由度为 $n - 1$ ，这是由于存在约束条件 $\sum_{i=1}^{n}\left(x_i - \bar{x}\right) = 0$ 。

范例[编辑]

这里示范如何计算一组数的标准差。例如一群孩童年龄的数值为{ 5, 6, 8, 9 }：

第一步，计算平均值 $\overline{x}$ ︰

\overline{x}=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N x_i

当

\begin{smallmatrix}N = 4\end{smallmatrix}

（因为集合里有4个数），分别设为：

\begin{align} x_1 &= 5 \\ x_2 &= 6 \\ x_3 &= 8 \\ x_4 &= 9 \\ \end{align}

\overline{x}=\frac{1}{4}\sum_{i=1}^4 x_i

(N = 4)

\overline{x}=\frac{1}{4} \left ( x_1 + x_2 + x_3 +x_4 \right )

\overline{x}=\frac{1}{4} \left ( 5 + 6 + 8 + 9 \right )

\overline{x}= 7

（此为平均值）

第二步，计算标准差 $\sigma\,$ ︰

\sigma = \sqrt{\frac{1}{N} \sum_{i=1}^N (x_i - \overline{x})^2}

\sigma = \sqrt{\frac{1}{4} \sum_{i=1}^4 (x_i - \overline{x})^2}

(N = 4)

\sigma = \sqrt{\frac{1}{4} \sum_{i=1}^4 (x_i - 7)^2}

(\overline{x} = 7)

\sigma = \sqrt{\frac{1}{4} \left [ (x_1 - 7)^2 + (x_2 - 7)^2 + (x_3 - 7)^2 + (x_4 - 7)^2 \right ] }

\sigma = \sqrt{\frac{1}{4} \left [ (5 - 7)^2 + (6 - 7)^2 + (8 - 7)^2 + (9 - 7)^2 \right ] }

\sigma = \sqrt{\frac{1}{4} \left ( (-2)^2 + (-1)^2 + 1^2 + 2^2 \right ) }

\sigma = \sqrt{\frac{1}{4} \left ( 4 + 1 + 1 + 4 \right ) }

\sigma = \sqrt{\frac{10}{4}}

\sigma = 1.5811\,\!

（此为标准差）

正态分布的规则[编辑]

主条目：正态分布

深蓝区域是距平均值小于一个标准差之内的数值范围，在正态分布中，此范围所占比率为全部数值之68%；两个标准差之内（深蓝，蓝）的比率合起来为95%；三个标准差之内（深蓝，蓝，浅蓝）的比率合起来为99.7%。

在实际应用上，常考虑一组数据具有近似于正态分布的概率分布。若其假设正确，则约68%数值分布在距离平均值有1个标准差之内的范围，约95%数值分布在距离平均值有2个标准差之内的范围，以及约99.7%数值分布在距离平均值有3个标准差之内的范围。称为“68-95-99.7法则”。

标准差与平均值之间的关系[编辑]

一组数据的平均值及标准差常常同时作为参考的依据。从某种意义上说，如果用平均值来考量数值的中心的话，则标准差也就是对统计的分散度的一个“自然”的测度。因为由平均值所得的标准差要小于到其他任何一个点的标准差。较确切的叙述为：设 $X_1, \cdots, X_N$ 为实数，定义函数

\sigma(\mu) = \sqrt{\frac{1}{N} \sum_{i=1}^N (x_i - \mu)^2}

使用微积分或者通过配方法，不难算出 $\sigma(\mu)$ 在下面情况下具有唯一最小值：

\mu = \overline{x}

几何学解释[编辑]

从几何学的角度出发，标准差可以理解为一个从 $n$ 维空间的一个点到一条直线的距离的函数。举一个简单的例子，一组数据中有3个值， $X_1, X_2, X_3$ 。它们可以在3维空间中确定一个点 $P = (X_1, X_2, X_3)$ 。想像一条通过原点的直线 $L = {(r, r, r) : r \in \mathbb{R}}$ 。如果这组数据中的3个值都相等，则点 $P$ 就是直线 $L$ 上的一个点， $P$ 到 $L$ 的距离为0,所以标准差也为0。若这3个值不都相等，过点 $P$ 作垂线 $PR$ 垂直于 $L$ ， $PR$ 交 $L$ 于点 $R$ ，则 $R$ 的坐标为这3个值的平均数：