“常数变易法”有效的原理
常数变易法
为什么写这篇文章
学过“常数变易法”的同学请直接点击“常数变易法的原理”
这里只讲述常数变易法的原理，为什么要用常数变易法请参见参考资料《常数变易法的解释 》
在学习高数的过程中，关于为什么在解一阶线性微分方程的时候要使用常数变易法，为什么可以使用常数变易法，常数变易法为什么是有效并且正确的，老师都语焉不详，一笔带过，导致一直不能很好地理解其中的数学思想。自己也只能接受老师的解释，将这个方法强行合理化。
但是最近再次看到一阶线性微分方程的求解，看到直接给出来的求解公式一头雾水，再去翻书，始终还是感觉隔靴搔痒，雾里看花，始终不自在，所以上网搜索了一下，搜到了一篇相关文章（常数变易法的解释 ），终于明白了其中蕴含的深刻而巧妙的数学思想，喜不自禁。
所以在此记录下个人的理解，一则梳理自己的思路，二则可供感兴趣的同学参考，倘能有助于大家理解常数变易法的“自然”性，亦是幸甚。
什么是常数变易法？
有以下一阶线性微分方程：$$ y' +P(x)y=Q(x) \tag1$$其中，\(P(x)\not \equiv 0\) 且 \(Q(x)\not \equiv 0\)。
若解其对应的齐次方程：$$ y' +P(x)y=0\tag2$$则易有：$$y=Ce^{-\int P(x)dx}(C\neq 0)$$即为齐次方程的通解。
这时，我们可以用常数变易法来求非齐次方程\((1)\)的通解，即将齐次方程\((2)\)的通解中的常数\(C\)换成（变易为）一个关于\(x\)的未知函数\(u(x)\)，变易之后，非齐次方程通解表示如下：$$y=u(x)\cdot e^{-\int P(x)dx} \Big(u(x)\not\equiv 0\Big)\tag3$$于是将该通解形式代入原方程\((1)\)，可以解得：$$u(x)=\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx+C$$将上式代入\((3)\)式，即可解得：$$y=e^{-\int P(x)dx}\cdot (\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx+C)$$这就是所谓常数变易法。
可以看到，这里把常数 \(C\) 直接代换为了函数\(u(x)\) ，显得十分生硬不自然，没有什么说服力。然而书上很少会对这个方法的由来作出介绍，所以想必会使很多人感到困惑。
错误的理解
对于常数变易法，我以前的理解是：
既然 \(y=Ce^{-\int P(x)dx}(C\neq 0)\) 可以使齐次方程 \(y' +P(x)y=0\) 成立，那么在其基础上增添一个函数，就应该使得该方程运算结果多出一个与自由项相关的余项\(Q(x)\)，所以可以使用常数变易法。
这样的理解是基于表面形式做出的一个解释，然而还是不能够明确地说明这个方法的正当性与正确性。
所以我们需要进一步探究其内在的原理。
常数变易法的原理
基本
容易理解，我们可以把任意函数表示成为两个函数之积，即 $$y(x)=u(x)\cdot v(x)\tag4$$对 \(y(x)\) 求导，得：\(y'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)\)
计算
将 \(y(x)=u(x)\cdot v(x)\)，\(y'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)\) 代入非齐次方程\((1)\)，整理得到：$$u'(x)v(x)+u(x)\cdot [v'(x)+P(x)v(x)]=Q(x)\tag5$$由解一阶线性微分方程的常用方法分离变量法容易想到，如果没有 \(u(x)\cdot [v'(x)+P(x)v(x)]\) 这一项，我们就可以简便地利用分离变量法进行计算。
现在单独考察 \(u(x)\cdot [v'(x)+P(x)v(x)]\) 这一项。其中 \(u(x)\) 不确定，不能用来保持 \(u(x)\cdot [v'(x)+P(x)v(x)]\not\equiv0\) ，所以考虑另一个因式 \(v'(x)+P(x)v(x)\) 。显然 \(v(x)\) 是不确定的，在 \(u(x)\) 不确定的情况下，可以任意取值。则假设 \(v(x)\) 满足 $$v'(x)+P(x)v(x)\equiv0\tag6$$ 观察式 \((6)\) ，可以看到其形式与式 \((2)\) 基本一致。
求解式 \((6)\)，可以得其通解形式：$$v(x)=C_1\cdot e^{-\int P(x)dx}(C\neq 0)\tag7$$将所得通解代入 \((4)\)，则$$y(x)=u(x)\cdot C_1\cdot e^{-\int P(x)dx}(C\neq 0)\tag8$$将 \((8)\) 式代入 \((5)\) 式，得到：$$u'(x)\cdot C_1\cdot e^{-\int P(x)dx}=Q(x)$$使用分离变量法，容易解得：$$u(x)=\frac1{C_1}\int Q(x)\cdot e^{\int P(x)dx}dx+C_2\tag9$$将 \((7)\) \((9)\) 同时代入式 \((4)\) ，则$$y(x)=e^{-\int P(x)dx}(\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx+C_1C_2)$$令\(C=C_1C_2\)，则得原一阶线性微分方程的通解为：$$y(x)=e^{-\int P(x)dx}(\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx+C)$$
推广
这一部分是在知乎看到了关于“常数变易法”在高阶作用的问题之后增补的
问题链接：常数变易法思想的来源或本质是什么？
现在有一般\(n\)阶线性微分方程$$P_{n}(x)y{(n)}+P_{n-1}(x)y+P_{n-2}(x)y^{(n-2)}...+P_{1}(x)y'+P_{0}(x)y=Q(x)\tag{10}$$
由前述有，\(y(x)\)可以表示为\(y(x)=u(x)v(x)\)。
现在我们考察两函数乘积的高阶微分形式。
比较二项式展开定理我们不难发现，对\(y=uv\)的高阶微分具有类似的形式。
比如：$$(uv)'=u'v+uv'$$$$(uv)''=(u'v+uv')'=u''v+2u'v'+uv''$$$$...$$
从原理上来看，展开多项式的每一项都应有\(n\)阶微分，而这\(n\)阶微分分别分配在\(u、v\)上；对于多项式的每一项，相当于任选\(k\)个微分算子作用于\(u\)，则另有\((n-k)\)个微分算子作用于\(v\)，与二项式展开定理本质相同，所以展开形式也应相同。
则有式\((11)\)：$$(uv){(n)}=C_n0u{(n)}v+C_n1u{(n-1)}v+C_n2uv{(2)}+...+C_nu{(1)}v+C_nnuv\tag{11}$$
将这个一般形式代回式\((10)\)，假设将\(u\)作为主要研究对象（以\(v\)为主要研究对象亦可，二者地位相同），则按\(u\)的导数降阶排列多项式：$$M_{n-1}(x)u{(n)}+M_{n-2}(x)u+...+M_0(x)u'+\bigl(P_n(x)v{(n)}+P_{n-1}(x)v+...+P_{1}(x)v'+P_0(x)v\bigr)u=Q(x)\tag{12}$$
其中，\(M_i(x)\)为关于\(x\)的多项式。
按一阶情况下的原理，可以令多项式\(\bigl(P_n(x)v^{(n)}+P_{n-1}(x)v^{(n-1)}+...+P_{1}(x)v'+P_0(x)v\bigr)\equiv0\)消去\(u\)项。解\(v\)即为解式\(10\)对应的齐次线性微分方程。
则剩下的式子为$$M_{n-1}(x)u{(n)}+M_{n-2}(x)u+...+M_0(x)u'=Q(x)$$
令\(\alpha(x)=u'(x)\)，则上式化为$$M_{n-1}(x)\alpha{(n-1)}+M_{n-2}(x)\alpha+...+M_0(x)\alpha=Q(x)\tag{13}$$
比较式\((12)、(13)\)，可以看到：通过常数变易法，成功地把求解一个\(n\)阶线性微分非齐次方程的问题，为了求解一个对应的\(n\)阶线性微分齐次方程和一个\((n-1)\)阶线性微分非齐次方程的问题。
总结
很显然我们可以看到，常数变易法是蕴含了很深刻的数学思想、具有很强健的数学基础的解题方法，并非无根之萍，更不是突发奇想或是强行合理。
但是从其原理上来讲，将其称呼为“常数变易法”是不太妥当的，本质上它并非是单纯地使用一个函数来替代了齐次方程通解的常数。
常数变易法的称呼应该说为了便于日常应用和直观记忆，这里可以不必纠结。
参考资料
[1] lookof,常数变易法的解释
[2] 崔士襄,邯郸农业高等专科学校,“常数变易法”来历的探讨
