poj 2409+2154+2888（Burnside定理）

 

三道burnside入门题：

Burnside定理主要理解置换群置换后每种不动点的个数，然后n种不动点的染色数总和/n为answer。

对于旋转，旋转i个时不动点为gcd(n,i).

传送门：poj 2409

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#include <queue>
#include <cstdlib>
#define LL long long
#define N 25
#define mod 1000000007
using namespace std;
LL p[50];
int gcd(int a,int b)
{
    return b==0?a:gcd(b,a%b);
}
LL power(LL a,LL n)
{
    LL res=1;
    while(n)
    {
        if(n&1)res*=a;
        a=a*a;
        n>>=1;
    }
    return res;
}
int main()
{
    int n,k;
    while(scanf("%d%d",&k,&n)>0)
    {
        if(n+k==0)break;
        LL ans;
        if(n&1)ans=n*power(k,n/2+1);
        else ans=n/2*(power(k,n/2)+power(k,n/2+1));
        for(int i=1;i<=n;i++)ans+=power(k,gcd(n,i));
        printf("%lld\n",ans/(2*n));
    }
}

传送门：poj 2154

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#include <queue>
#include <cstdlib>
#define LL long long
#define N 35000
#define mod 1000000007
using namespace std;
int n,p;
int prime[N+10],tot;
bool vis[N+10];
void init()
{
    tot=0;
    memset(vis,false,sizeof(vis));
    for(int i=2;i<=N;i++)
    {
        if(!vis[i])
        {
            prime[tot++]=i;
        }
        for(int j=0;j<tot;j++)
        {
            if(i*prime[j]>N)break;
            vis[i*prime[j]]=true;
        }
    }
}
LL power(LL a,LL n)
{
    LL res=1;
    while(n)
    {
        if(n&1)res=res*a%p;
        a=a*a%p;
        n>>=1;
    }
    return res;
}
LL Phi(int x)
{
    int res=1;
    for(int i=0;prime[i]*prime[i]<=x&&x>1;i++)
    {
        if(x%prime[i]==0)
        {
            res*=prime[i]-1;
            x/=prime[i];
            while(x%prime[i]==0)
            {
                x/=prime[i];
                res*=prime[i];
            }
        }
    }
    if(x>1)res*=x-1;
    return res;
}
int primefactor[N<<1],sz;
void factor(int x)
{
    sz=0;
    for(int i=1;i*i<=x;i++)
    {
        if(x%i==0)
        {
            primefactor[sz++]=i;
            if(i*i!=x)primefactor[sz++]=n/i;
        }
    }
}
LL solve(int n)
{
    factor(n);
    LL ans=0;
    for(int i=0;i<sz;i++)
    {
        ans=(ans+Phi(n/primefactor[i])*power(n,primefactor[i]-1))%p;
    }
    return ans;
}
int main()
{
    int T;init();
    scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
        scanf("%d%d",&n,&p);
        printf("%d\n",solve(n));
    }
}

传送门：poj 2888

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#include <queue>
#include <cstdlib>
#define LL long long
#define N 35000
#define mod 9973
using namespace std;
int n,m,k;
int prime[N+10],tot;
bool vis[N+10];
struct matrix
{
    int m[12][12];
    void zore()
    {
        memset(m,0,sizeof(m));
    }
    void unit()
    {
        for(int i=0;i<12;i++)
            for(int j=0;j<12;j++)
            m[i][j]=i==j;
    }
}g;
matrix mult(matrix a,matrix b)
{
    matrix c;
    c.zore();
    for(int k=0;k<m;k++)
    for(int i=0;i<m;i++)
    {
        if(a.m[i][k]==0)continue;
        for(int j=0;j<m;j++)
            c.m[i][j]=(c.m[i][j]+a.m[i][k]*b.m[k][j])%mod;
    }
    return c;
}
matrix quick_power(matrix a,int n)
{
    matrix res;
    res.unit();
    while(n>0)
    {
        if(n&1)res=mult(res,a);
        a=mult(a,a);
        n>>=1;
    }
    return res;
}
int calc(int n)
{
    int ans=0;
    matrix res=quick_power(g,n);
    for(int i=0;i<m;i++)
    {
        ans=(ans+res.m[i][i])%mod;
    }
    return ans;
}
void init()
{
    tot=0;
    memset(vis,false,sizeof(vis));
    for(int i=2;i<=N;i++)
    {
        if(!vis[i])
        {
            prime[tot++]=i;
        }
        for(int j=0;j<tot;j++)
        {
            if(i*prime[j]>N)break;
            vis[i*prime[j]]=true;
        }
    }
}
LL Phi(int x)
{
    int res=1;
    for(int i=0;prime[i]*prime[i]<=x&&x>1;i++)
    {
        if(x%prime[i]==0)
        {
            res*=prime[i]-1;
            x/=prime[i];
            while(x%prime[i]==0)
            {
                x/=prime[i];
                res*=prime[i];
            }
        }
    }
    if(x>1)res*=x-1;
    return res;
}
int primefactor[N<<1],sz;
void factor(int x)
{
    sz=0;
    for(int i=1;i*i<=x;i++)
    {
        if(x%i==0)
        {
            primefactor[sz++]=i;
            if(i*i!=x)primefactor[sz++]=n/i;
        }
    }
}
int power(int a,int n)
{
    int res=1;
    a%=mod;
    while(n)
    {
        if(n&1)res=res*a%mod;
        a=a*a%mod;
        n>>=1;
    }
    return res;
}
int solve(int n)
{
    factor(n);
    int ans=0;
    for(int i=0;i<sz;i++)
    {
        ans=(ans+Phi(n/primefactor[i])*calc(primefactor[i]))%mod;
    }
    return ans*power(n,mod-2)%mod;
}
int main()
{
    int T;
    scanf("%d",&T);
    init();
    while(T--)
    {
        scanf("%d%d%d",&n,&m,&k);
        g.zore();
        for(int i=0;i<m;i++)
            for(int j=0;j<m;j++)
            g.m[i][j]=1;
        while(k--)
        {
            int u,v;
            scanf("%d%d",&u,&v);
            u--;v--;
            g.m[u][v]=g.m[v][u]=0;
        }
        printf("%d\n",solve(n));
    }
}