《（蒲公英）众数查询中块数选择的优化：平衡预处理与查询时间》

《（蒲公英）众数查询中块数选择的优化：平衡预处理与查询时间》

在分块算法中，块大小（或块数）的选择核心是平衡预处理时间和查询时间，使得整体复杂度最优。对于本题（众数查询问题），将块数 t 设为 sqrt(Q * log2(n))，本质是通过数学推导让预处理和查询的时间复杂度尽可能接近，从而最小化总耗时。

关键：明确预处理与查询的时间表达式

要理解块数的选择，需先拆解两部分核心耗时：

1. 预处理时间

pre(i) 函数的作用是：对第 i 个块，从块的起始位置 L[i] 遍历到数组末尾，记录每个位置对应的 “当前众数”，存储在 mo 数组中。

• 单次 pre(i) 的时间复杂度为 O(n)（遍历从 L[i] 到 n，共 O(n) 步）。

• 总共有 t 个块，因此预处理总时间为 O(t * n)。

2. 查询时间

每次查询 qes(l, r) 需要处理三部分：左边角块、右边角块、中间完整块。

• 中间完整块可直接用预处理的 mo 数组，时间 O(1)。

• 边角块的处理：每个边角块的长度最多为 “块大小 s”（s = n/t，因为总块数为 t，总长度 n，故每块约 n/t 个元素）。

• 对边角块的每个元素，需用 get 函数（二分查找）计算其在 [l, r] 中的出现次数，单次二分时间 O(log n)。因此，单次查询处理边角块的时间为 O(s * log n)（边角块总长度 O(s)）。

• 总共有 Q 次查询，因此总查询时间为 O(Q * s * log n)。

目标：平衡预处理与查询时间

块大小 s = n/t（因为总块数 t，总长度 n），代入查询时间表达式得：

总查询时间 = O(Q * (n/t) * log n)。

预处理时间 = O(t * n)。

为了让整体复杂度最优，需让预处理时间与查询时间 “数量级相当”（即两者平衡），即：

t * n ≈ Q * (n/t) * log n

约去 n 后化简：

t² ≈ Q * log n

因此：

t ≈ sqrt(Q * log n)

为什么这样设置更优？

若选择传统的 t = sqrt(n)（块大小 s = sqrt(n)）：

• 预处理时间 = O(sqrt(n) * n) = O(n^(3/2))

• 查询时间 = O(Q * sqrt(n) * log n)

当 Q 较大（如 Q ~ n）时，查询时间会远大于预处理时间（O(n * sqrt(n) * log n) 远大于 O(n^(3/2))），整体复杂度由查询主导，效率较低。

而选择 t = sqrt(Q * log n) 时：

• 预处理时间 = O(sqrt(Q * log n) * n)

• 查询时间 = O(Q * (n / sqrt(Q * log n)) * log n) = O(n * sqrt(Q * log n))

两者数量级相同，整体复杂度达到最优平衡，尤其在 Q 较大时优势明显。

总结

块数 t = sqrt(Q * log2(n)) 的设置，是通过数学推导让预处理时间与查询时间平衡，从而最小化整体复杂度，这是针对 “众数查询” 问题（查询次数多、单次查询处理边角块耗时）的优化选择。