NOIP2006 2k进制数

2^k进制数

题目描述

设r是个2^k 进制数，并满足以下条件：
（1）r至少是个2位的2^k 进制数。
（2）作为2^k 进制数，除最后一位外，r的每一位严格小于它右边相邻的那一位。
（3）将r转换为2进制数q后，则q的总位数不超过w。
在这里，正整数k（1≤k≤9）和w（k<W< span>≤30000）是事先给定的。
问：满足上述条件的不同的r共有多少个？
我们再从另一角度作些解释：设S是长度为w 的01字符串（即字符串S由w个“0”或“1”组成），S对应于上述条件（3）中的q。将S从右起划分为若干个长度为k 的段，每段对应一位2^k进制的数，如果S至少可分成2段，则S所对应的二进制数又可以转换为上述的2^k 进制数r。
例：设k=3，w=7。则r是个八进制数（23=8）。由于w=7，长度为7的01字符串按3位一段分，可分为3段（即1，3，3，左边第一段只有一个二进制位），则满足条件的八进制数有：
2位数：高位为1：6个（即12，13，14，15，16，17），高位为2：5个，…，高位为6：1个（即67）。共6+5+…+1=21个。
3位数：高位只能是1，第2位为2：5个（即123，124，125，126，127），第2位为3：4个，…，第2位为6：1个（即167）。共5+4+…+1=15个。
所以，满足要求的r共有36个。

输入输出格式

输入格式：

输入只有1行，为两个正整数，用一个空格隔开：
k W

输出格式：

输出为1行，是一个正整数，为所求的计算结果，即满足条件的不同的r的个数（用十进制数表示），要求最高位不得为0，各数字之间不得插入数字以外的其他字符（例如空格、换行符、逗号等）。
（提示：作为结果的正整数可能很大，但不会超过200位）

输入输出样例

输入样例#1：

3 7

输出样例#1：

36

说明

NOIP 2006 提高组 第四题

 

【思路】

   组合公式+高精度

   首先明确两点：一是r的每一位严格小于它右边相邻的那一位，二是q的总位数不超过w即可以比w小。

   设all=2^k,意为每一段所能表示的数字数目。

   如此，如果第一段不为0，设为i，则有C(all-1-i,n/k)种方案，枚举i累加即可。

            如果第一段为0，则数字可以为2、...n/k段（不能为1段因为假设第一段为0），则有方案数：C(all-1,2)+C(all-1,3)...+C(all-1,n/k)

   注意all-1减去了0的可能性。

【代码】

#include<iostream>
using namespace std;

typedef long long LL;
const int maxn = 1000;
int C[maxn][maxn][300];
int ans[300];
int k,n;
void add(int *A,int* B,int *C) {
    int len=max(A[0],B[0]); C[0]=len;
    for(int i=1;i<=len;i++) {
        C[i]+=A[i]+B[i];
        C[i+1]+=C[i]/10;
        C[i]%=10;
    }
    if(C[C[0]+1]) C[0]++;
}
void add(int* C,int* B) {
    int len=max(C[0],B[0]); C[0]=len;
    for(int i=1;i<=len;i++) {
        C[i]+=B[i];
        C[i+1]+=C[i]/10;  //+=
        C[i]%=10;
    }
    if(C[C[0]+1]) C[0]++;
}

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin>>k>>n;
    int b_max=1<<(k),h_max=1<<(n%k);
    C[0][0][0]=C[0][0][1]=1;
    for(int i=1;i<b_max;i++)
     for(int j=0;j<=i;j++){
         if(j==0) C[i][j][1]=1;
         else add(C[i-1][j-1],C[i-1][j],C[i][j]);
     }
    for(int i=2;i<=n/k&&i<b_max;i++) add(ans,C[b_max-1][i]);
    for(int i=1;i<h_max&&n/k+i<b_max;i++) add(ans,C[b_max-i-1][n/k]);
    for(int i=ans[0];i;i--)  cout<<ans[i];
    return 0;
}