五、平面图

 

五、平面图

 

5.1 平面图的概念

 

相传古代有一位独裁者，临死时留有遗嘱，把土地分给他的五个儿子，这五个儿子在自己的领地上各修筑了一座宫殿，他们还还企图修一些道路，使得每两座宫殿之间有一条道路直接相通，又要求道路不能交叉。结果，这五个愚蠢的王子煞费苦心，终告失败。上面这个故事很多地方都听到过了，又是从实践中来的图论的问题。1930年，波兰数学家Kuatowsky给出平面图的充要条件，严格证明了五宫修路问题是无解的。没欧拉那样有名。

 

定义1  一个图称为可嵌入曲面S，是指把它的图示画在S上，可以使任两条边不内交。可嵌入平面的图叫做平面图，否则为非平面图。

书上还举了可嵌入环面的K5，及可嵌入Mobius带的K3,3。

 

定理1  任何图皆嵌入E3

证：取E3中曲线l:x=t,y=t2,z=t3,t>=0。从l上任取四个点(ti,ti2,ti3),i=1,2,3,4,ti>=0,则由于范德蒙行列式不等于0，知这四个点不共面，我们把G的顶画在l上，把边画成直线段，这时不会有任何两条边在内点相交，不然相交的两条线段共面。于是其四个端点共面，与l上四点不共面矛盾。所以我们可如此把任何图G画在E3中而边不内交。证毕。

 

定理2  G是平面图的充要条件是G可在球面上嵌入。

证：考虑球极平面射影，球S与平面P相切，过切点的直径的另一端点为Z(北极)。定义映射f:S->P.当且仅当z,s,p共线时，f(s)=p,其中s属于S，p属于P。f是一一映射(P上的无穷远点与Z对应)。

若图G有平面嵌入G'，则由f，G'在S上的原象即G在S上嵌入；反之，若G''是G在S上的嵌入，不妨设z不在G''的边上或顶上，则由f,G''之象即为G的平面嵌入。证毕。

上述证明主要是在于球S与平面P的映射，威力主要在于球极平面射影上。理解了那个映射就迎刃而解了。

 

本节都是一些最基本的东西，就这样了。下一节讲欧拉公式，欧拉这个人真是无所不在，以后讲欧拉时一定要带上是哪个数学领域的，否则有时真会搞混了。

 

 

 

 

5.2   Euler公式

 

一张鱼网上结点间的线段数目，可以数数结点和网孔算出来，计算的公式就是著名的Euler公式。

定义2   平面图G之平面嵌入把平面分成若干个连通的闭区域，每个这种闭区域叫做G的一个平面，那个无界面叫做G的外面。

 

定理3   v是平面图的顶点，则可以把G嵌入在平面上，使v在外面上

证：考虑G的一个球面嵌入，由定理2，这种嵌入是存在的。令N是球面上含v的闭区域的内点，以N为北极进行球极平面映射，则得所求之平面嵌入----v被嵌入外面上。证毕。

 

定理4   (Euler,1736)G是连通平面图，则

              υ-ε+φ=2,

其中φ是G的函数。

证：对φ进行归纳法证明。φ=1是时，G中无圈，又G是连通图，故G是树，ε=υ-1，于是υ-ε+1=2，公式成立，假设φ<=n(n>=1)时，公式已成立，考虑φ=n+1的情形。

由于φ=n+1>=2,有圈，设e是某圈上的边，则G-e仍连通，而被e分隔的G中的两个面在G-e中成为一个面，且G-e仍为平面图，由归纳法假设，

υ(G-e)-ε(G-e)+φ(G-e)=2,

υ(G)-[ε(G)-1]+[φ(G)-1]=2,

υ(G)-ε(G)+φ(G)=2。

证毕。

 

推论1   平面图的面数与平面嵌入的方式无关

推论2   平面图平面嵌入时，有界面的个数恰为余树的边数。(这个余树的边数就是ε-(υ-1)，刚好φ=ε-υ+2，除去一个外面应该就是了)

 

例1  对哪些n,存在n条棱的多面体？

解： 以多面体的顶点为顶点，以多面体的棱为边，构成一个连通平面图G。则υ(G)>=4，φ(G)>=4，由Euler公式，ε(G)>=6。即无棱数小于6的多面体。

四面体是棱数为6的多面体。因为2ε(G)>=3φ(G)，若有7条棱的多面体，则φ<=14/3，即φ=4，于是

           7=υ(G)+φ-2=υ+2，

υ=5，但φ=4时，唯一一多面体是四面体(就是三棱锥)，它只有四个顶，可见，无7棱多面体。

考虑k>=4，以k边形为底的棱锥为2k条棱的多面体。若把k-1边形为底的棱锥底角处一个三面角“锯掉一个小尖儿”，得到2k+1条棱的多面体。总之n>=6,n<>7时，有n条棱的多面体。

 

最后这个例题用图论的方法证明了不存在7棱多面体，可见欧拉公式的威力呀。不知不用图论，用立体几何是如何证的。

 

 

 

 

 

 

5.3  平面图的对偶图

 

定义3  G'是平面图G的平面嵌入，则如下画出的图G*是G的一个对偶图：

(1)G'的每个面内画且仅画G*的一个顶点f*

(2)当且仅当面fi与面fj有公共边ek时，画G*的一条边ek*=fi*fj*

(3)e为G'的桥时，画G*的一个环，此环与e所在的面内的顶f*相关联

同一个平面图有不同平面嵌入方式，可能会形成不同构的对偶图。为了加深这个对偶图的理解直接摘抄书上的图5.4。例如图5.4中有一次顶，有桥，但此桥还可以嵌入含f5*或含f2*的面，从而环关联的顶可以是f2*,可以是f5*,也可以是f7*。再来一个图5.5，同一个平面图的两种平面嵌入，相应的对偶图显然不同构，(a)的对偶图有5次顶(在外面内)，而(b)的对偶图无5次顶。

记F(G)={f1,f2,...fΦ},是平面图平面嵌入的面集合；d(f)是f属于F(G)时，f边界上的边数，叫做f的次数；一条边是平面图的桥时，d(f)中此边贡献为2。

容易看出，G为平面图，则有

(1)φ(G)=υ(G*)，ε(G)=ε(G*)，d(f)=dG*(f*).

(2) 每个平面图皆有对偶图，未必唯一，但对偶图仍为平面图。

(3) G连通，(G*)*=G。

(4) 平面图G1与G2同构，未必其对偶图也同构。

 

定理5  G为平面图，则对任给的平面嵌入，皆有

           Σd(f)=2ε

(这个定理很简单，理解了平面图及对偶图就出来了，证略)

 

推论3  υ>=3的平面图，ε<=3υ-6

证：只需对连通图来证明。因υ>=3，显然d(f)>=3，其中f属于F(G)。又2ε=Σd(f)>=3φ，由欧拉公式υ-ε+φ=2，3υ-3ε+3φ=6,3υ-6=3ε-3φ>=3ε-2ε=ε，即ε<=3υ-6。证毕。

推论4  δ(平面图)<=5。(δ的定义见第一章：δ=min{d(vi)})

证：υ=1或2，命题显然成立。当υ>=3时，由推论3，

             δυ<=Σd(υ)=2ε<=2(3υ-6),

                     δ<=6-12/υ,

故得δ<=5证毕。

 

推论3与推论4说明了不，平面图在顶υ固定后其边数不会太多，不然在平面上嵌入时“放不下”。这么“浅显”的道理用这样的推论推出来了。

 

定义3  G为平面单图，若对任何不相邻的顶u与v,G+uv不再是平面图，则称G是极大平面图。

 

定理6  G是υ>=3的极大平面图，当且仅当G的平面嵌入每个面皆3次。

证：设G'是极大平面图G的平面嵌入，G'中有一个面的边界不是K3，这个面的边界是v1v2v3...vkv1,k>=4,则在此面内可加一边，事实上，若多边形v1v2v3...vkv1的对角线vivj属于E(G)，则多边形v1v2...vkv1上vi的两个邻顶之间在G中不相邻，于是我们可以在此二顶之间加一边，得到的图仍是平面图，与G为极大平面图矛盾。

反之，G'的每个面皆3次，则由Σd(υ)=2ε，3φ=2ε，及G中连通图，从欧拉公式υ-ε+φ=2得ε=3υ-6。而由推论3，平面图边数上界是3υ-6，所以G是极大平面图。证毕。

欧拉公式真管用呀。

定理铺天盖地而来呀，下面是定理7了

定理7  υ>4的平面图G为极大平面图，则δ(G)>=3。

证：对任意的v属于V(G)。由于G是平面图，则G-v也是平面图，v在G'-v的一个面f'的内部，这里G'是G的平面嵌入。由于G是极大平面图，G-v的顶至少有三个在上述G'-v的面f'的边界上，即得d(v)>=3。由v之任意性，δ(G)>=3。证毕。

 

推论5  G是极大平面图，则ε=3υ-6

由此可知，极大平面图的边数达到平面图边数(顶数给定)的边界，故极大平面图就是最大平面图，反之亦然。

推论6  平面欧拉图可表成不超过υ-2个无公共边的图的并。

猜想推论6对非平面欧拉图仍成立，但至今尚未证明(我连推论6都没一时想明白)

 

 

 

 

 

 

5.4  Kuratowksky定理

 

好长的一个名字呀，不知怎样读。先看定理8

定理8　K5和K3,3都是非平面图。

证：υ（K5）＝5，ε（K5）＝10,3υ-6＝3*5-6=9，不满足平面图的必要条件ε<=3υ-6，故K5非平面图。

K3,3是二分图，无奇圈，所以无子图K3；若K3,3是平面图，每面次数至少是4，于是

　　　4φ<=Σd(f)=2ε=2*9=18,

故有φ<=9/2,即φ<=4,由欧拉公式，

　　　　　2=υ-ε+φ<=6-9+4=1,

而这是不可能的。证毕。

 

两个图叫做同胚的，若一个图是另一图边上“加上”一些新顶得到的；规定图自同胚。

1930年，波兰数学家Kuratowsky指出，K5或K3,3的同胚图是引起图不能嵌入平面的仅有的两个“疙瘩”。这两个图居然这么厉害呀。就是下面的定理9了。

 

定理9（Kuratowsky,1930)G是平面图的充要条件是G中无与K5或K3,3同胚的子图。

证：条件的必要性不足道，下证充分性。（以下证明是1954年Dirac和Schuster给出的）设G中无K5或K3,3的同胚做子图，但G是非平面图。令G是边数最少的这种图，则G是块，且δ(G)>=3。令x0=u0v0属于G，则F=G-x0是平面图。

1）F中含有u0和v0的圈。

若F中无含u0和v0的圈，则u0和v0在F的不同块中。从而存在F的一个割顶w,它在每条u0-v0轨上。若F中没有边wu0与wv0，我们把它们加入F构成图F0，F0中u0与v0仍在不同的块中，例如分别在B1与B2中。B1与B2有公共顶w。B1与B2都比G边数少，故B1或者是平面图或者是含有一个同胚于K5或K3,3的子图。然而，若加入wu0后产生了B1的一个同胚于K5或K3,3的子图H，则用以边x0开始从u0到w一条轨代替wu0,得到的G的子图同胚于H，从而也同胚于K5或K3,3，矛盾。从而B1（同理B2）是平面图。B1与B2都可画在平面上，使得wu0与wv0在外面上，从而F0可嵌入平面，使wu0与wv0在外面上，加入x0不破坏F0的可平面性，因为G是F0+x0的子图，故G是平面图，矛盾。

2）把F嵌入平面，使含u0和v0的一个圈Z含有数目最多的面。指定Z的一个方向（例如顺时针方向），Z[u,v]是Z上从u到v的轨，若v在Z上不是紧跟着u的，用Z(u,v)表示Z[u,v]删去u和v得到的轨。

Z的外部是指由Z外的顶导出的F的子图。这个子图的连通片，叫做外部连通片。Z的外桥是指F的一个子图，它由关联于至少一个在某个外部连通片的顶点的所有边导出或者由在Z外部且与Z的二顶关联的一条边导出。类似地可以定义Z的内部、内部连通片与内桥。称一个外桥或内桥是分离u-v的，若它与Z(u,v),Z(v,u)上都有公共顶。显然，若u与v在Z上相邻，任何一个外桥或内桥都不会分离u-v。

因为F是连通的，又F没有割顶，所以每个内桥与外桥至少与Z有两个公共顶。没有外桥可以与Z(u0,v0)或Z(v0,u0)有一个以上的公共顶，因为否则就有一个含u0，v0的圈，有比Z更多的内部面数。同理没有外桥可以以u0或v0为与Z的公共顶。从而每个外桥与Z恰有两个公共顶，且分离u0-v0。此外，由于不能在F中加入x0而保持平面性，所以至少有一个分离u0-v0的内桥。

3）存在一个分离u0-v0的外桥，它与Z(u0,v0)有公共顶u1,与Z(v0,u0)有公共顶v1,使得存在一个内桥，它分离u0-v0又分离u1-v1。

若3）不真，我们会找到矛盾。为此，把分离u0-v0的内桥进行编号，从u0起沿Z前进，按公共顶出现的次序给相应的内桥编号为I1,I2,I3...；I1是从u0起在Z上最先遇到它的顶的内桥。令u2与u3是I1与Z(u0,v0)的第一个和最后一个公共顶；v2,v3是I1与Z(v0,u0)的第一个和最后一个公共顶。每个外桥与Z的两个公共顶必在Z[v2,v3]上或在Z[u3,u2]上，不然，就会有一个外桥与Z(u0,v0)有公共顶u1,与Z（v0,u0)有公共顶v1,而有一个内桥既分离u0-v0又分离u1-v1，与3）不真矛盾。所以可以在Z的外部区域画一条联结v3和u2的曲线C，使它不与F的边接触（图5.7)。于是I1可以保持平面嵌入地转移到C的外面。类似地，分离u0-v0的内桥都可依次保持平面嵌入地转移到C的外面，这样边x0可以加上去而不损坏F的可平面性，然而这是不可能的，所以3）成立。

4）令H是3）中指的内桥，它分离u0-v0,又分离u1-v1。令H与Z(u0,v0),Z(v0,u0),Z(u1,v1),Z(v1,u1)的公共顶分别是w0,w0',w1,w1'。依上述四顶的分布，分四种情形讨论之（图5.7).

(1)顶点w1与w1'中有一个在Z（u0,v0)上，而另一个在Z(v0,u0)上。我们可以取w0=w1,w0'=w1'。在这种情形，G中含K3,3子图（图5.7(a))，K3,3的顶划分成空心与实心两种，空心者与实心者相邻。

（2）w1与w1'都在Z(u0,v0)上或Z(v0,u0)上，不失一般性，我们取第一种情形。又有两种可能：v1<>w0'与v1=w0'。若v1<>w0',则G含有同胚于K3,3的子图。依赖于w0'在Z(u1,v1)上或在Z（v1,u1)上，分别如图5.7(b)或(c)。若v1=w0'(图5.7(d))，则H含一个顶点r,存在由r开始到w1,w1'和v1的三条不相交的轨，它们的所有顶点（除w1,w1'和v1外）都属于H。这时G也含有K3,3的同胚子图。

（3）w1=v0和w0'<>u0。不失一般性，令w1'在Z(u0,v0)上，G又含K3,3同胚的子图。若w0'在Z(v0,v1)上，则如图5.7(e)所示，G有一个同胚于K3,3的子图。若w0'在Z(v1,u0)上，如图5.7(f)所示，也有K3,3的同胚子图，若w0'=v1,修改一下这个图形也容易看出G含K3,3的同胚子图。

（4）w1=v0且w1'=u0，我们设w0=u1,w0'=v1，否则我们可以得到前三种情形之一。我们分两种子情形考虑，令P0是H中从u0到v0的一条最短轨道，P1是从u1到v1的一条最短道路。P0与P1一定相交。若其交点不止一个，则如图5.\7(g)所示，G中含有同胚于K3,3的子图；否则，如图5.7(h)所示，G中含K5的同胚子图。

（1），（2），（3），（4）已包括所有可能的情形，证毕。

（这个定理证得好累呀，通篇都是抽象的图论术语，没有任何的公式演绎，很典型的图论证明。后面的四种情形有些还不太明白）。

 

所谓的G的初等收缩是删去邻顶u和v，再加上一个新顶w，使w与邻接于u和邻接于v的每个顶邻接。若H是G通过一系列初等收缩得到的，则称G是可收缩到H。例如Petersen图（见4.3Hamilton图那一节）可以收缩到K5。所以Petersen图不是平面图。

Kuratowsky定理可以写成：G是平面图当且仅当G中无可收缩到K5或K3,3的子图。

 

 

 

 

 

 

 

5.5　图的厚度

 

一个图不是平面图，不能把它嵌入平面，于是自然提出分层嵌入几个平面的问题：G的边集至少可以划分成几个子集，使得每个子集的导出子图都是平面图？

定义4　如果　G＝∪Gi(i从1至d），其中Gi皆平面图，i=1,2,...d，E（Gi)∩E(Gj)=φ,i<>j；则称(G1,G2,...,Gd)为G的平面分解，而θ(G)=min{d|(G1,G2,...,Gd)是G的平面分解}称为G的厚度或层数。

 

如何确定图的厚度至今既无公式又无有效算法！（又是图论里的一个难题喽。）但厚度及分层嵌入是实际需要的待解决问题。例如设计电路板。

 

下面给出厚度的下界。

定理10　（1）θ(G）>={ε/(3υ-6)}(υ>2)。

（2）G中不含三角形，则θ(G）>={ε/(2υ-4)}(υ>2)。

（3）θ（Kυ）>=[(υ+7)/6](υ>3,υ<>9)。

（｛x}就是表示大于x的最小整数，[x]表示小于x的最大整数）

证：（1）对于平面图，0<ε<=3υ-6,从而（υ＞2）

　　　　　　0<ε/(3υ-6)<=1,

故有

　　　　　　　θ(G）>={ε/(3υ-6)}。

（2）若G是平面图，且不含三角形，G的φ个面次数分别为n1,n2,...,nφ。显然ni>=4,i=1,2,...,φ。又因为

　　　　　　　　Σd(f)=2ε（f属于F（G）），

故得4φ<=2ε,φ<=ε/2,由欧拉公式（不妨设G为平面图）2＝υ-ε+φ<=ε/2+υ-ε=υ-ε/2，ε<=2υ-4，所以0<ε/(2υ-4)<=1,于是

　　　　　　　θ(G）>={ε/(2υ-4)}。

（3）由（1）得

　　　　　　θ（Kυ）>={ε/(3υ-6)}.

又对于Kυ，

　　　　　　　　ε=υ(υ-1)/2,

取

　　　　　　　　　a=1-1/(3υ-6),

因υ>3,故0<a<1，于是有

θ（Kυ)>={(1/2)*υ(υ-1)/(3υ-6)}>=[υ(υ-1)/(6υ-12)+1-1/(3υ-6)]=[(υ^2+5υ-14)/(6*(υ-2))]=[(υ+7)/6]。

证毕。

 

上面给出的θ(G）的下界有时偏离较大，例如Petersen图，θ(Petersen)=2,但下界给出的是

　　　　{ε/(3υ-6)}={15/(3*10-6}={15/24}=1.

误差率100%。（这个好象很废话，本身Petersen图的θ值就小，这个误差不大才怪呢。）

不过定理10的（3）中那个υ<>9的限制一直搞不明白，定理证明中也没用到这个条件。书上说θ（K9)=3,明显3>=[(9+7)/6]=[16/6]=2是成立的，不知那里搞错了。

 

这一章结束了。书上说上一节的Kuratowsky定理在图论历史上有很高地位，其证明也相当的精彩。由内桥分离得到的图5.7-2那一组图以后还要好好的领会。

 

下一章开始讲算法了。纵深搜索算法与平面嵌入算法。